qeypour 寫到:
謝謝galaxylee兄的解法
用了兩次柯西不等式
關鍵在等號成立
不過小弟有一疑問
是否等號成立就保證有極值?
像這個題目
x^2+y^2=1,x,y都是實數
求5x+2y之最小值
利用柯西不等式(x^2+4y^2)(5^2+1^2)>=(5x+2y)^2
等號成立5x+2y有極值
此時x/5=2y/1代入x^2+y^2=1求得x=+ -10/sqrt(101)
進一步得5x+2y最小值為-52/sqrt(101)
但很不幸
這並非正確答案
怎麼會這樣?
由上述柯西的不同配法又可得5x+2y的另一最小值
最小值會有無限多個
柯西不等式只是一個在實數域下作用的絕對不等式
而其等號成立時,變數間遵守某種比例關係(這裡不能說不等式某一邊式子會有極值出現)
所以柯西不等式本身並沒有明確指出某式的極值是否存在,但可進一步用它來找極值
例如 x^2+y^2=1,x,y都是實數 求5x+2y之最小值
正確解:
利用柯西不等式(x^2+y^2)(5^2+2^2) ≧ (5x+2y)^2
(x,y是任意實數,不等式永遠成立)
進一步得到 1*29 ≧ (5x+2y)^2
(只要x,y滿足條件x^2+y^2=1,左式永遠成立)
因此在條件x^2+y^2=1的限制下,(5x+2y)^2 ≦ 29
即-√29≦ 5x+2y≦ √29
等號成立時,(x/5)=(y/2)=t,x=5t,y=2t代入x^2+y^2=1中,可得t及x,y之解
(這樣的x,y確實存在)
所以,-√29為5x+2y之最小值。
錯誤解:
利用柯西不等式(x^2+4y^2)(5^2+1^2)≧(5x+2y)^2
(這不等式沒問題)
等號成立5x+2y有極值
(這句話有問題,因為在條件x^2+y^2=1的限制下,x^2+4y^2也會隨時變動,表示(5x+2y)^2的上限不是一個固定值,所以不能說等號成立時5x+2y有極值所以底下就不用看了)
此時x/5=2y/1代入x^2+y^2=1求得x=+ -10/sqrt(101)...
(這只說明等號成立時以及x^2+y^2=1時,x,y的值,又此時x^2+4y^2=104/101)
進一步得5x+2y最小值為-52/sqrt(101)
(這句話也有問題了,從前面的算式完全沒有出現(5x+2y)^2會小於等於某固定數的式子,所以看不出5x+2y的極值,只知道等號成立時,且在x^2+y^2=1的情形下x^2+4y^2=104/101,而(x^2+4y^2)(5^2+1^2)≧(5x+2y)^2就變成(104/101)(5^2+1^2)=(52/√101)^2