[問題] 16次整系數多項式 能開平方的條件?

[問題] 16次整系數多項式 能開平方的條件?

訪客 於 星期三 四月 21, 2021 1:43 am


設A爲16次整系數多項式

A=x^16 +a15*x^15 +...+a1*x +a0= T*T

T=x^8+b7*x^7+...+b1*x+b0

整系數a15,14..a0須滿足怎樣的條件 等式才成立?

訪客

 

Re:16次整系數多項式 能開平方的條件?

訪客 於 星期日 六月 06, 2021 5:15 pm


這個問題可以用類似巴斯卡三角形的原理去想
但這邊用矩陣做圖會更直觀

先說原理:
首先各項次的係數組成跟其項次有直接關係
例如:
x16勢必只能由x8*x8達到,因此其係數組成為1*1 (因多項式T首項係數為1。當然,若首項不為1,用b8帶入亦可,則為b8*b8)
x15則可由x8*x7與x7*x8達到,所以其係數則為(1*b7)+(b7*1)
x14可由x8*x6、x7*x7、x6*x8,則其係數組成為(1*b6)+(b7*b7)+(b6*1)
以此即可類推各項

但這樣子土法煉鋼雖然可求得,但式子可是又臭又長,不說花的時間多,還有算錯的風險
所以以下推薦矩陣做圖  PS.以下多項式T使用b8做首項係數,即意首項不為1亦可用此法做
T=b8*x8+b7*x7+b6*x6+b5*x5+b4*x4+b3*x3+b2*x2+b1*x

畫一個9*9的矩陣,最上與最左列依序填入各項次的係數
在依序計算各格的數值,各格數值由該格的最上與最左係數相乘得出
如圖示,一種顏色代表一個項次的係數
同顏色數值加總後,由左上至右下顏色依序為x16、x15、x14、......、x2、x的係數值


如此,設A=a16*x16+a15*x15+a14*x14+......+a2*x2+a1*x
若a16=b8*b8
a15=b8*b7+b7*b8
a14=b8*b6+b7*b7+b6*b8
......
a2=b2*b1+b1*b2
a1=b1*b1
則A=T*T


小技巧:
左上自右下的對角線為平方項,而兩邊數值為對稱,即算出一邊的值,另一邊即一模一樣
因此式子可簡化為:
a16=b82
a15=2(b8*b7)
a14=b72+2(b8*b6)
a13=2(b8*b5+b7*b6)
a12=b62+2(b8*b4+b7*b5)
......
a2=2(b2*b1)
a1=b12

訪客

 






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