由 eaglle 於 星期四 一月 01, 2015 8:18 pm
這和遞減交錯級數收歛的証法是一樣的, 一般書上寫一大堆不等式, 其實用數軸來看會很清楚:
一開始是1, 減兩項後, 就往左跳一段距離到S3; 但再加兩項都比減的小, 所以再往右跳回到S5的時候, 只能回到1的左邊;
以下以此類堆, 就得到
_____S3__S7____S11______________________________________________S13_______S9______S5____1___
總之, 這些奇數的S就會往中間靠攏, 你也可以說, 右邊的那些S遞減而有下界, 左邊那些S遞增而有上界,
由實數的完備性「遞增(減)數列有上(下)界, 必收歛」, 左右兩邊的S都有極限
現在的問題只在, 左邊和右邊的S, 是會靠攏到一起, 還是中間會留下一段距離?
因為 Sn+2- Sn= |1/n+1 + 1/n+2| ----> 0 , 所以, 右邊的S遞減的極限會和左邊的S遞增的極限相等
最後, 那偶數項的S呢? 和上述相同, 偶數項的S和奇數項的S只差一個 1/n+1, 所以奇偶項S的極限也是一樣的
這樣, 整個數列的n項和Sn 就有一個極限, 這就是數列收歛的定義了
以上, 我沒有動用制式的數學式來寫, 但意思應該更容易明白; 如果要改寫成制式數學式, 一點也沒有困難, 例如
把數軸上的關係寫成: S3<S7<S11..... .<S9<S5<1
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