方程式 x³ + y³ - 3axy = 0 (*)
求 (*) 所定義之曲線的漸近線?
解:
(1) 求 (*) 的參數式
考慮 x≠0,y≠0:
令 y = tx 代入 (*) 得 ﹝注意:t 為變數﹞
x³ + (tx)³ - 3ax(tx) = 0
x²(x + t³x - 3at) = 0
x + t³x - 3at = 0
(1 + t³)x = 3at
x = (3at) / (1 + t³)
y = tx = (3at²) / (1 + t³)
所以 (*) 的參數式為
x(t) = (3at) / (1 + t³)
y(t) = (3at²) / (1 + t³), t 為實數,t≠-1 ■
(2) 參數 t 分成三部分 (-∞, -1), (-1, 0), [0, +∞),請參考附圖。
當 t → -1+ 時,x → -∞ 且 y → +∞
當 t → -1- 時,x → +∞ 且 y → -∞
(3) 求漸近線之斜率
x'(t) = (3a) / (1 + t³) - (9at³) / (1 + t³)² = 3a(1 - 2t³) / (1 + t³)²
y'(t) = (6at) / (1 + t³) - 9a(t^4) / (1 + t³)² = 3at(2 - t³) / (1 + t³)²
dy/dx = y'(t)/x'(t) = t(2 - t³) / (1 - 2t³)
lim dy/dx = lim t(2 - t³) / (1 - 2t³) = (-1)(2 - (-1)) / (1 - 2(-1)) = -1
t → -1 t → -1
故 (*) 的漸近線之斜率為 -1 ■
(4) 求漸近線
設漸近線為 x + y + c = 0
曲線 (*) 上的點到漸近線的距離為
│[(3at) / (1 + t³)] + [(3at²) / (1 + t³)] + c│ / √(1² +1²)
=│[3at + 3at² + c(1 + t³)]/(1 + t³)│ / √2
所以
lim │[3at + 3at² + c(1 + t³)]/(1 + t³)│ / √2
t → -1
= (1/√2)│lim [3at + 3at² + c(1 + t³)]/(1 + t³)│ ( 0/0 不定型 )
t → -1
= (1/√2)│lim [3a + 6at + 3ct²]/(3t²)│ ( By L'Hospital's rule )
t → -1
= (1/√2)│[3a - 6a + 3c]/(3)│
= (1/√2)│-a + c│
當 c = a 時上式為零
故漸近線為 x + y + a = 0 ■