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(a)在黑板上任意寫下2007個大於1的正整數.試證:您必定可以擦掉黑板上的某一個數,使得剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. (二分)

(b)在黑板上有2007個大於1的正整數,其中一個數為2006,且已知這2007個數中恰好只能找到一個數,使得擦去這個數後剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2,其中a,b為正整數. 試證:這個唯一的數是2006. (二分)

(a)
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
設a+b=m
a-b=n
m,n要為正整數且竒偶相同a,b才會為正整數
若2007個數中沒有偶數
則任選一個數擦掉剩下2006個數的乘積用mn表示，m,n可為正整數且竒偶相同

若2007個數中只有一個布為四的倍數的偶數
則擦掉那個偶數
則任選一個數擦掉剩下2006個數的乘積用mn表示，m,n可為正整數且竒偶相同

若2007個數中有兩個以上的偶數
則擦掉一個數使剩下2006個數仍保有2個以上的偶數
則任選一個數擦掉剩下2006個數的乘積用2km2sn表示，m,n可為正整數且竒偶相同

所以不管怎麼擦都可找出正整數a,b

(b)
因為這2007個數中恰好只能找到一個數,使得擦去這個數後剩下的2006個數的乘積可表示為a^2-b^2
故此2007個數必只有2006是不為4的倍數的偶數
若擦掉其他的數，則所得之m,n且竒偶不相同
所以必定要擦掉2006所得之m,n才竒偶相同
因此得證