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cloudsea · 由 **cloudsea** 於星期五三月 31, 2006 3:41 pm

Prove or disprove :
T: R--.>R linear operator, T is invertible <=> T is onto

我記得算子好像可得其1-1且onto...但就止於這邊...且T可逆==.>其座標化得到的A是可逆則其可逆...就只有想到這幾個線索...希望有高手解惑一下謝謝..

linch6123 · 由 **linch6123** 於星期五三月 31, 2006 5:01 pm

令{v₁，v₂，…..，v_n}為R^n 的一個 basis ，若 T: R^n--.>R^n為onto

只要證明{T(v₁)，T(v₂)，…..，T(v_n)} 為R^n 的一個 basis即可

若a₁ T(v₁)+ a₂ T(v₂)+…a₁ T(v_n)=0

則T(a₁v₁+ a₂ v₂+…..+ a_n v_n)=0

因為T is invertible

所以a₁v₁+ a₂ v₂+…..+ a_n v_n=0

因為{v₁，v₂，…..，v_n}為R^n 的一個 basis

所以a₁= a₂=…..=a_n=0

則{T(v₁)，T(v₂)，…..，T(v_n)} 為線性獨立

所以{T(v₁)，T(v₂)，…..，T(v_n)} 為R^n 的一個 basis

所以T: R^n--.>R^n為onto

其實可利用sylvester維度定理來說明這題

nullity(T)+rank(T)=n

因為T is invertible，所以nullity(T)=0

rank(T)=n

所以T: R^n--.>R^n為onto

cloudsea · 由 **cloudsea** 於星期六四月 01, 2006 1:17 am

謝謝你...有時很懷疑自己的頭腦在想什麼???哈!

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[問題]線代問題...希望高手解惑..謝謝

[問題]線代問題...希望高手解惑..謝謝