∫1/X^3*√X^4+1dx
x^4+1是在根號裡面的..........thx大家
因為答案覺得很怪
如果題目是∫X^3/√(X^4+1) dX 或∫1/(X^3*√(X^4+1)) dX 就簡單多了
!!!
∫√(X^4+1) /X^3dX
用2次變數變換, 1次部分積分.
令U= 1/X^2
則dU/dX=-2/ X^3
dX /X^3=-dU/2
∫√(X^4+1) /X^3dX=-1/2∫√(1/U^2+1) dU=-1/2∫√(1+U^2)/U dU
令U=tanθ
則θ=arctanU
dU/dθ=sec^2 θ
∫√(1+U^2)/U dU=∫√(1+tan^2 θ)/ tanθ * sec^2 θ dθ
=∫sec^3 θ/ tanθ dθ=∫sec^2 θ *cscθ dθ
部分積分
f(θ)= cscθ
g’(θ)= sec^2 θ
g(θ)= tanθ
∫cscθ*sec^2 θ dθ=∫f(θ)* g’(θ) dθ=fg-∫f’(θ)* g(θ) dθ
= cscθ* tanθ-∫cscθ* cotθ* tanθdθ=secθ-∫cscθdθ
= secθ-(ln(cscθ- cotθ))
所以
∫√(X^4+1) /X^3dX=-1/2(secθ-ln(cscθ- cotθ))
=-1/2(√(U^2+1) - ln(1-1/U+1/ U^2))
=-1/2(√(1/X^4+1)- ln(1- X^2+ X^4))