實係數多項式f(x),a,b為相異實數
試證
(1)f(a)*f(b)< 0,則f(x)=0必有奇數個實根在a~b之間
(2)f(a)*f(b)> 0,則f(x)=0必有偶數個實根在a~b之間
試證
(1)f(a)*f(b)< 0,則f(x)=0必有奇數個實根在a~b之間
(2)f(a)*f(b)> 0,則f(x)=0必有偶數個實根在a~b之間
大嘴 寫到:證:
多項式f(x)為實係數, 則y= f(x) 在平面(x, y)上為一連續曲線.
f(x)=0的實根,為y=f(x)曲線與x軸的交點.
f(a)*f(b)< 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的異側
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有奇數交點,
故在a~b之間有奇數個實根.
f(a)*f(b)> 0,則點(a, f(a)) 與點(b, f(b))在x軸的同側
由拓樸幾何知, 點(a, f(a)) 與點(b, f(b))間的連續曲線與x軸有偶數交點
故在a~b之間有偶數個實根.