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lim
x -> 0  

   (x - sin[x]) * (cos[x] - 1 + x^2 / 2)
-------------------------------------------
   (sec[x] - 1 - x^2 / 2) * (x - tan[x])

without using L'Hopital's rule.

thanks!

請問...
[ ] 是代表高斯符號嗎?

lim
x -> 0

(x - sin[x]) * (cos[x] - 1 + x^2 / 2)
-------------------------------------------
(sec[x] - 1 - x^2 / 2) * (x - tan[x])

分母分子同乘 (cosx)^2
則原式
lim
x -> 0

[(cosx)^2] * (x - sin[x]) * (cos[x] - 1 + x^2 / 2)
------------------------------------------- -------
[1 - cosx- (x^2 / 2)cosx] * (xcosx - sinx)

將
sinx=x-(x^3 / 3!)+…
cosx=1- (x^2 / 2)+ (x^4 / 4!)-…
代入原式則

則
lim      
x -> 0
(1-x^2+...)* (x^3 / 6)+...) *  (x^4 / 24-…)
------------------------------------------- ----------
[(5 /24)(x^4 )+…] * [(-1/3)x^3+...)
則
lim      
x -> 0
(1/144)x^7+….
------------------------------------------- ----------
(-5 /72)x ^7 +…


=-1/10

分兩個情形來討論：x > 0 且 x -> 0，x < 0 且 x -> 0.

1. x > 0 且 x -> 0：

此時[sinx] = [cosx] = [tanx] = 0，[secx] = 1，代入原式可得極限.

2. x < 0 且 x -> 0：

此時 [sinx] = [tanx] = －1，[cosx] = 0，[secx] = 1，代入原式可得極限.

一陣風 寫到:分兩個情形來討論：x > 0 且 x -> 0，x < 0 且 x -> 0.

1. x > 0 且 x -> 0：

此時[sinx] = [cosx] = [tanx] = 0，[secx] = 1，代入原式可得極限.

2. x < 0 且 x -> 0：

此時 [sinx] = [tanx] = －1，[cosx] = 0，[secx] = 1，代入原式可得極限.

有人可以解釋依下這個解法嘛?@@ sin[x], cos[x] 應該是 continous, thus limit from 2
sides should be equal?
喔,還有,雖然高中學過了tylor expension, 可是現在還沒有到那個階段,還有不使用 tylor expension
解法?

一陣風 寫到:分兩個情形來討論：x > 0 且 x -> 0，x < 0 且 x -> 0.

1. x > 0 且 x -> 0：

此時[sinx] = [cosx] = [tanx] = 0，[secx] = 1，代入原式可得極限.

2. x < 0 且 x -> 0：

此時 [sinx] = [tanx] = －1，[cosx] = 0，[secx] = 1，代入原式可得極限.

i just realized that [] is guess symbol = =//