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將前若干個(多於一個)質數的乘積記作k.
證明: k-1與k+1都不是完全平方數.

3*5+1=16=4^2

題目是問什麼??

訪客 寫到:3*5+1=16=4^2

題目是問什麼??

我也不太清楚.
不過前若干個應該是指連續且前面的質數.
如: 2,3,5. 2*3*5+1=31(不為完全平方數).

質數前幾個為2,3,5,7,...

若此連續乘積含2，設有n個連續質數相乘，其值為K，則很容易看出，k+1和k-1必同為質數。

故若存在反例，則其連續乘積必不含2

又猜測題意應為從2開始取連續質數相乘，故得證。

因為若5*7+1就是完全平方數了。

piny 寫到:質數前幾個為2,3,5,7,...

若此連續乘積含2，設有n個連續質數相乘，其值為K，則很容易看出，k+1和k-1必同為質數。

故若存在反例，則其連續乘積必不含2

又猜測題意應為從2開始取連續質數相乘，故得證。

因為若5*7+1就是完全平方數了。

紅色部分一定正確嗎？能否給個證明？
前n個質數乘積±1不會被前n個質數所整除，是顯而易見的
但難保不會被其他比第n個還大的質數所整除

嗯 的確是我想漏了，k+1是有可能被比較大的質數整除

預備知識：
(i)奇數的平方必為8n+1型
(ii)不是3的倍數之奇數，其平方必為3n+1型
(iii)為3的倍數之奇數，其平方必為3n型

(1)
k=2*3*5*7*....=10*3*7*...
k的個位數為0，十位數為奇數，可能為1,3,5,7,9
所以k+1的末兩位數可能是11,31,51,71,91
這些都不是8n+1型，所以k+1不是某個奇數的平方，k+1不是完全平方數

(2)
k-1的末兩位數可能是09,29,69,89（因為k的十位數字不可能是5，所以不可能為49）
(i)29,69不是8n+1型
(ii)k-1不是3的倍數，且89不是3n+1型
(iii)
若k-1末兩位數為09，且為完全平方數，則k-1必為某一個個位數3，十位數0的平方
設此數為100a+3，即k-1=(100a+3)^2
若a為3的倍數，則k-1為3的倍數，k不為3的倍數，與k為3的倍數矛盾。
若a用3除餘1，則k-1為3n+1型，k為3n+2型，與k為3的倍數矛盾。
若a用3除餘2，則k-1為3n+1型，k為3n+2型，與k為3的倍數矛盾。

由(i)(ii)(iii)，k-1不是完全平方數

sorry! 忘了登入

預備知識：
(i)奇數的平方必為8n+1型
(ii)不是3的倍數之奇數，其平方必為3n+1型
(iii)為3的倍數之奇數，其平方必為3n型

(1)
k=2*3*5*7*....=10*3*7*...
k的個位數為0，十位數為奇數，可能為1,3,5,7,9
所以k+1的末兩位數可能是11,31,51,71,91
這些都不是8n+1型，所以k+1不是某個奇數的平方，k+1不是完全平方數

(2)
k-1的末兩位數可能是09,29,69,89（因為k的十位數字不可能是5，所以不可能為49）
(i)29,69不是8n+1型
(ii)k-1不是3的倍數，且89不是3n+1型
(iii)
若k-1末兩位數為09，且為完全平方數，則k-1必為某一個個位數3，十位數0的平方
設此數為100a+3，即k-1=(100a+3)^2
若a為3的倍數，則k-1為3的倍數，k不為3的倍數，與k為3的倍數矛盾。
若a用3除餘1，則k-1為3n+1型，k為3n+2型，與k為3的倍數矛盾。
若a用3除餘2，則k-1為3n+1型，k為3n+2型，與k為3的倍數矛盾。

由(i)(ii)(iii)，k-1不是完全平方數