YLL討論網

在ΔABC中，P为其内部一点，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，且∠ABP＝∠ACP，又F为BC中点，试证：EF＝DF。（注：B、P、D三点不共线，C、P、E三点不共线）

1.
設BP的中點為H，PC的中點為K，連接EH、HF、FK、KD
則四邊形PHFK是平行四邊形

2.
又H、K分別是直角三角形PEB、PDC斜邊上的中點
所以在△EHF與△FKD中
EH=PH=FK，HF=PK=KD
因為∠EHP=∠BEH+∠EBH=2∠ABP，∠DKP=∠DCK+∠CDK=2∠ACP，又∠ABP=∠ACP(已知條件)，所以∠EHP=∠DKP
所以∠EHF=∠PHF+∠EHP=∠PKF+∠DKP=∠FKD
所以△EHF 和 △FKD全等(SAS)
所以對應邊 EF=DF