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--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 3:47 pm

X^2+Y^2=k,有N(k)個整數解.
Find N(k).

---
Hint: go to 許志農 to see the number theory.
http://math.ntnu.edu.tw/~maco/arith24.html

scsnake · 由 **scsnake** 於星期日四月 06, 2003 3:52 pm

我看到你在數學研究室也有post~~

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期日四月 06, 2003 3:58 pm

I cannot login to his 研究室

scsnake · 由 **scsnake** 於星期日四月 06, 2003 4:08 pm

meowth目前只知：
一般而言,當S有因子((4k+3)^(2n-1)),無法拆成整數解X^2+Y^2

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 4:16 pm

I have an answer, at least, a range can be given.

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 4:38 pm

My Final result:

If k=2^c* (pi1*pi2*pi3*...*pim)^2*(pj1^t1)*(pj2^t2)*....*(pjn^tn),
pi:(4k-1)-type primes
pj:(4k+1)-type different primes

then,
N(k)= 4* (1+2*[(t1+1)/2] )*(1+2*[(t2+1)/2] )*...*(1+2*[(tn+1)/2] )

else: N(0)=1
else: N(k)=0
---
Ex:
N(2*2*5*5)=4*(1+2)=12

N(2*3*5)=0

N(2*2*5*5*5*13*13)=4(1+4)(1+2)=60

N(2^n)=4*1=4

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期日四月 06, 2003 4:59 pm

Don't be lazy to write clear, at leas. ㄏㄏㄏ

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 5:10 pm

Give you another Q. They are related.

http://www.theproblemsite.com/maml/

I've given you 3 hints and the final answer.
Try it! ㄏㄏㄏ

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 6:28 pm

差不多快抖完了,剩下這題賣個關子. Meow~

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 6:37 pm

THe last hint: see " Concatenating(比鄰並列) Squares"

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 9:24 pm

從 (aa+bb)(cc+dd)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

and (4k+1)-type prime pj= pp+qq 方法唯一非常高興

(1)
when k=pj1*X, which X has no any factor of pj1

we know
k=uu+vv 如果有w組互質解,則, kk=ss+tt 也有w組互質解非常高興

; (如果有非互質解,則提出公因數,再平方)
XX=xx+yy 如果有h組互質解,則, X=ss+tt 也有h組互質解 (如果有非互質解,則提出公因數,再平方)

kk=pj1*pJ1*XX=pj1*pj1*(xx+yy)
=(pp+qq)(pp+qq)(xx+yy)

=(pp+qq)((px+qy)^2+(py-qx)^2)
=(pp+qq)((px-qy)^2+(py+qx)^2)

=(ppx+2pqy-qqx)^2+(ppy-2pqx+qqx)^2
=(ppx-2pqy-qqx)^2+(ppy+2pqx+qqx)^2
=(ppx+qqx)^2 +(ppy+qqy)^2

==> if XX=xx+yy 如果有h組解, then kk=ss+tt 有3*h組解
==> if X=xx+yy 如果有h組解, then k=ss+tt 有3*h組解

(2)
when k=pj1^2*X, which X has no any factor of pj1
let X=xx+yy 有h組解
k=pj1*pJ1*X=pj1*pj1*(xx+yy)
=(pp+qq)(pp+qq)(xx+yy)

=(pp+qq)((px+qy)^2+(py-qx)^2)
=(pp+qq)((px-qy)^2+(py+qx)^2)

=(ppx+2pqy-qqx)^2+(ppy-2pqx+qqx)^2
=(ppx-2pqy-qqx)^2+(ppy+2pqx+qqx)^2
=(ppx+qqx)^2 +(ppy+qqy)^2

==> k=ss+tt 有3*h組解
==> if X=xx+yy 如果有h組解, then k=ss+tt 有3*h組解

(3)

同理可以得到

無錢工

的同理,自己想摟

)
when k=pj1^t1*X, which X has no any factor of pj1
if X=xx+yy 有h組解
then k=ss+tt 有(1+2*[(t1+1)/2])*h組解

(4) when k=1, N(k)=4
(5) when k=(pi1*pi2*...*Pin)^2,(Pi are (4k-1)-type primes), N(k)=4
(6) when k=2^(2n), N(k)=4
when k=2^(3n+1), N(k)=4
(7) from (3)(4)(5)(6), we get:

If k=2^c* (pi1*pi2*pi3*...*pim)^2*(pj1^t1)*(pj2^t2)*....*(pjn^tn),
pi:(4k-1)-type primes
pj:(4k+1)-type different primes

then,
N(k)= 4* (1+2*[(t1+1)/2] )*(1+2*[(t2+1)/2] )*...*(1+2*[(tn+1)/2] )

---
else: N(0)=1
else: N(k)=0

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期日四月 06, 2003 9:25 pm

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 9:29 pm

了錢的生意啦,版權我要保留,不可以隨便copy喔.

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 9:34 pm

Meowth蹲了幾個月得到的一駝東西,不可以隨便copy喔.
(結論可以copy, 過程不可以隨便copy),否則再送你一駝很臭的.

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 9:39 pm

請問大家認為我"個人頭像圖檔",那一駝是什麼東東?

猜一猜嘛!

索洛西 · 由 **索洛西** 於星期日四月 06, 2003 9:42 pm

既然你都說是一坨了.......
那我還能猜別的嗎?就那個嘛...

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 9:46 pm

而且是被卡車輾過的喔哈哈哈

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 9:49 pm

下次再把"屎的方程式","卡車輾過方程式" show出來

索洛西 · 由 **索洛西** 於星期日四月 06, 2003 9:53 pm

這坨成份好均勻啊~~~輾過後完全沒有出現雜質!!!

--- · 由 **---** 於星期日四月 06, 2003 9:55 pm

我的卡車輾過方程式有6種輪胎痕,這種是心型的.還有花生形,六角星形,圓點形,斜紋形,5角星形.

"屎的方程式"有1種,還有變形的喔.

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[數學]Sum of Squares, 核心問題

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[分享]解答大概是這樣, 反正又是無錢工