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yptsoi · 由 **yptsoi** 於星期四四月 17, 2003 3:19 pm

證明等式 8xxx-6x+1=0 沒有有理數根。

(remember give me money.)

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期四四月 17, 2003 3:46 pm

sin30°=3sin10°-4sin³10°
1/2=3sin10°-4sin³10°
1=6sin10°-8sin³10°
8sin³10°-6sin10°+1=0

So, sin10° is a root of 8x³-6x+1=0

After long division, the quadratic equation will provide complex roots
So, all roots in 8x³-6x+1=0 are irrational.

yptsoi · 由 **yptsoi** 於星期四四月 17, 2003 3:49 pm

you find out the roots directly?

ps. money ar!

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期四四月 17, 2003 3:54 pm

yes, another similar case is
8x³-6x-1=0
x=cos20°is a root

yptsoi · 由 **yptsoi** 於星期四四月 17, 2003 3:56 pm

那麼這題不算。
問題更正：
證明:
8x^95-7x^94+6x^93+...-x^88+8x^87-7x^91...-1=0 沒有有理數根。

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期四四月 17, 2003 3:59 pm

答了又話不算
我也不給你錢出題了ㄏㄏㄏ

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期四四月 17, 2003 4:01 pm

Can you write your second Q clearly?

yptsoi · 由 **yptsoi** 於星期四四月 17, 2003 4:20 pm

證明:
8x^95-7x^94+6x^93+...-x^88+8x^87-7x^91...-1=0 沒有有理數根。
即由x^95開始，係數則是8,-7,6,-5,4,-3,2,-1,8,-7,6,-5,4,-3,2,-1,8,-7,......

haha, 不要不給錢啊！！！
算你對吧！^_^
then 這算是分題! ^_^

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期四四月 17, 2003 8:08 pm

8x⁹⁵-7x⁹⁴+6x⁹³-5x⁹²+4x⁹¹-3x⁹⁰+2x⁸⁹-x⁸⁸+...+8x⁷-7x⁶+6x⁵-5x⁴+4x³-3x²+2x-1
=(8x⁷-7x⁶+6x⁵-5x⁴+4x³-3x²+2x-1)(1+x⁸+x¹⁶+x²⁴+...+x⁸⁸)

But for all real x:
x⁸,x¹⁶,x²⁴,...,x⁸⁸≧0
So, 1+x⁸+x¹⁶+x²⁴+...+x⁸⁸=0 does not have real roots

8x⁷-7x⁶+6x⁵-5x⁴+4x³-3x²+2x-1=0

利用牛頓定理,如果q/p是8x⁷-7x⁶+6x⁵-5x⁴+4x³-3x²+2x-1=0的根,那麼p|8, q|-1
因此q/p=1,-1,1/2,-1/2,1/4,-1/4,1/8,-1/8

但一一測試,均不符合
因此8x⁷-7x⁶+6x⁵-5x⁴+4x³-3x²+2x-1=0無有理數解

--- · 由 **---** 於星期五四月 18, 2003 9:03 am

http://math.ntnu.edu.tw/~maco/arith19.html
http://math.ntnu.edu.tw/~maco/arith1.html

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期五四月 18, 2003 11:06 am

I remembered that when learning factor theorem
Teacher has quoted this in short time.

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[問題]證明

[問題]證明