由 ---- 於 星期四 四月 03, 2003 5:08 pm
1. 設203=ay+b
其中y是除數,a是商,b是餘數,y>b
因為b|a,故b|203。
203=7x29
若b=29
則a>=29。此時y<=6,不合,因為y>b。
若b=7
a=7, y=28
a=14, y=14
a=21, y=28/3, 不合
a>=28時,y<=7,不合,因為y>b
故有(a,b,y)=(7,7,28),(14,7,14)
若b=1,a可以是任何符合條件的正整數,因為1|a
ay=202=2x101=1x202
有(a,y)=(2,101),(101,2),(1,202)
故答案為
(a,b,y)=(7,7,28),(14,7,14),(2,101),(101,2),(1,202)
2.這樣的八位數迴文數必然是abcddcba的模式。
因1995=3x5x7x19
故3|a+b+c+d
且a=5,否則此數不能被5整除)
即b+c+d=1(mod 3)
b+c+d=1,4,7,10,13,16,19,22,25
abcddcba
=a+3b-2c-d+4d+6c+b+3a(mod 7)
=4a+4b+4c+3d(mod 7)
=3(d-a-b-c)(mod 7)
=0(mod 7)
即d-a-b-c為7的倍數
d-5-b-c為7的倍數。
a+b+c-d為7的倍數。
b+5+c-d=0(mod 7)
b+c-d=2(mod 7)
b+c-d=-5, 2, 9, 16.
若b+c-d=-5,
b+c=d-5
b+c+d=2d-5=1 or 7 or 13
d=3 or 6 or 9.
因b+c>0, d>5,故d=6 or 9.
若b+c-d=2,
b+c=d+2
b+c+d=2d+2=4,10,16
d=1, 4, 7.
若b+c-d=9
b+c=d+9
b+c+d=2d+9=13,19,25.
d=2,5,8.
若b+c-d=16.
b+c=d+16
b+c+d=2d+16=22, d=3
無解。
故有(b,c,d)=(0,1,6),(1,0,6),(0,4,9),(1,3,9),(2,2,9),(3,1,9),(4,0,9),
(0,3,1),(1,2,1),(2,1,1),(3,0,1),(0,6,4),(1,5,4),(2,4,4),(3,3,4),(4,2,4)
,(5,1,4),(6,0,4),(0,9,7),(1,8,7),(2,7,7),(3,6,7),(4,5,7),(5,4,7),(6,3,7)
,(7,2,7),(8,1,7),(9,0,7),(2,9,2),(3,8,2),(4,7,2),(5,6,2),(6,5,2),(7,4,2)
,(8,3,2),(9,2,2),(5,9,5),(6,8,5),(7,7,5),(8,6,5),(9,5,5),(8,9,8),(9,8,8)
abcddcba=a+b+5c-7d+6d+3c-8b-4a(mod 19)
=-3a-7b+8c-d(mod 19)
=16a+12b+8c+18d(mod 19)
=8a+6b+4c+9d(mod 19)
=8a+6b+4c-10d(mod 19)
=4a+3b+2c-5d(mod 19)
=0(mod 19)
20+3b+2c-5d=0(mod 19)
3b+2c-5d=-1(mod 19)
以上面之組合試之。
無解。
3.
4.
設1+...+a=(a+1)+...+b,則
(1+a)a/2=(a+b+1)(b-a)/2
a^2+a=b^2+b-a^2-a
2a^2+2a=b^2+b
4a^2-b^2+2a-b=2a^2
(2a-b)(2a+b+1)=2a^2
引理: (2a-b) 與(2a+b+1) 互質。
證明:若命題不成立,設
2a-b=pn1,
2a+b+1=pn2, 其中p為(2a-b)與(2a+b+1)的一個質公因數
則p|2a^2
case i : p不整除2,p|a^2
則p|a(可用反證法證明),因2a-b=pn1
故p|b,
但2a+b+1=pn2,矛盾。
case ii: p 整除2,則
2a-b及2a+b+1均整除2
由2|2a-b 得b 為偶數
但2|2a+b+1 得b 為奇數,矛盾。
故(2a-b)與(2a+b+1)互質。
當a整除2時,2a-b或2a+b+1 需包含全部2的因子,不然他們不是互質。
但在此情況下,除了題目的兩組解外,並無解。
當a不整除2時,
因b>a, 2a-b<2a-a=a。故a不能為質數
為使其最小,
當a=15時,
2a-b=3, 2a+b+1=150, 無解。
2a-b=5, 2a+b+1=90, 無解。
2a-b=6, 2a+b+1=75, 無解。
2a-b=10,2a+b+1=45,無解。
當a=21時,
2a-b=3,無解。
2a-b=7, 2a+b+1=126, 無解
2a-b=14, 2a+b+1=63,無解。
2a-b=18, 2a+b+1=49
當a=35時,
2a-b=5, 無解。
2a-b=7,無解。
2a-b=25,無解。
~~~~ 很可憐呀,有事要做,得先走~~~