[數學](還原)微積分詮釋

[數學](還原)微積分詮釋

訪客 於 星期日 三月 10, 2024 12:48 pm


此文目的在於建立電腦算法基礎.
此檔置於 https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/RealNumber-zh.txt/download
並會不時更新.

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| 實數 |
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n-進制定㸃數::= 由n-進制數字串所表達的數. 此字串可含一個正負號或小數點:

         <fixed_point_number>::= [-,+] <dstr1> [ . <dstr2> ]
         <dstr1>::= <nzd> [{ 0, <nzd> } <nzd>]
         <dstr2>::= { 0, <nzd> } <nzd>
         <nzd> ::= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)   // '數字'會隨進制改變

         任兩n-進制數x,y相同 iff x,y的上述表達完全相同

實數ℝ::= {x| x爲n-進制定㸃數符號所表數. 表達x的數字串符號可無限長}

         註:此定義隠含表明循環小數爲無理數

實數基本上就這麽簡單. 極限理論爲尋找導數的方法論,與實數定義無關 (若有關係,類似
以上的'ℝ'也要先定義,否則已後的推論很難避開遁環論証問題).

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| (還原)微積分詮釋 |
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微積分基本上是由求算函數面積問題開始: 設F爲f的面積函數. 由函數面積義意可得:

    (F(x+h)-F(x)) ≒ (f(x+h)+f(x))*(h/2)    // h是個足夠小的偏移量
<F>0) (F(x+h)-F(x))/h = f(x)

  註: (1)Lim義意與課本的lim相同,但要求數式必須有效處理成h能以0代入的形式後的結果
      否則邏輯結論永遠是趨近值 (2)上式視爲可推導的恆等式,非定義 (3)這堥S提到有
      關無限大(或小)的問題

連續(函數)::= 函數f於a點連續 iff f(a)可由'附近值'f(a+h)逼近(滿足ε-δ敘述).

  註1: 若借用極限符號及其概念表達, 則lim(h->0) f(x+h)= f(x)
  註2: 微積分理論的基本難點應是証明h=0的狀況(己知:冪函數的微分成立). 對於複雜
       問題(>=NP, P≠NP應已得証 https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/PNP-proof.txt/download ),
       大部份疊代算法都依賴解域的某種連續性,藉由搜尋附近值尋得. 所以,F期望性質
       (1)也可能是微積分的必要性質.
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訪客

 

[數學](還原)微積分詮釋

訪客 於 星期日 三月 17, 2024 10:26 am


有關[實數]小節 新增一點解釋:

實數ℝ::= {x| x爲n-進制定㸃數符號所能表達之數. 表達x的數字串符號可無限長}

         註: 此定義隠含表明循環小數爲無理數.
            順便簡短說明常見的代數魔術証明:
               (1) x= 0.999...
               (2) 10x= 9+x  // 10x= 9.999...
               (3) 9x=9
               (4) x=1
             解答: 沒有公理或定理可証 (1) => (2). (2)式實爲"0.999..."的解釋.

訪客

 

[數學](還原)微積分詮釋

訪客 於 星期日 三月 24, 2024 10:55 pm


內文已更新 https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/NumberView-zh.txt/download

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| 實數 |
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n-進制定㸃數::= 由n-進制數字串所表達的數. 此字串可含一個正負號或小數點:

         <fixed_point_number>::= [-,+] <dstr1> [ . <dstr2> ]
         <dstr1>::= <nzd> [{ 0, <nzd> } <nzd>]
         <dstr2>::= { 0, <nzd> } <nzd>
         <nzd> ::= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)   // '數字'會隨進制改變

         任兩n-進制數x,y相同 iff x,y的上述表達完全相同

實數ℝ::= {x| x爲n-進制定㸃數符號所能表達之數. 表達x的數字串符號可無限長}

         註: 此定義隠含表明循環小數爲無理數.
            順便簡短說明常見的代數魔術証明:
               (1) x= 0.999...
               (2) 10x= 9+x  // 10x= 9.999...
               (3) 9x=9
               (4) x=1
             解答: 沒有公理或定理可証(1) => (2)

實數基本上就這麽簡單. 極限理論爲尋找導數的方法論,與實數定義無關 (若有關係,類似
以上的'ℝ'也要先定義,否則已後的推論很難避開遁環論証問題).

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| 極限 |
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極限::= lim(x->a) f(x)=L
    http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/download/precal/PPT/Chapter%2002_04.pdf
    http://www.math.ncu.edu.tw/~yu/ecocal98/boards/lec6_ec_98.pdf
    https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
    重點: L爲滿足ε-δ敘述情況下,x趨近a時的"極限值"(f(a)可以未定義,雖f於a連續時,
    L=f(a)). L爲依此"定義"出的值,不是"無限趨近...即相等"(沒有這種邏輯).

    譬如1: A= lim(n->∞) 1-1/n= lim(n->0+) 1-n= lim 0.999...=1
           B= lim(n->∞) 1+1/n= lim(n->0+) 1+n= lim 1.000..?=1

    譬如2: A=lim(x->ℵ₀) f(x), B=lim(x->ℵ₁) f(x) // ℵ₀,ℵ₁是否恰當是另個問題,但若
                        // 採“最終將相同”解釋,會有問題

    “極限”定義A=B, 但不是內容相等. 若採"x趨近..則等於.."說法, 則有很多邏輯上的
    問題.

    註:極限的乘法公式(lim(x->c) (f(x)*g(x))= (lim(x->c) f(x))*(lim(x->c) g(x)) )
       可能有點問題:
       設A=lim(n->∞) (1-1/n)= 1
       A*A*..*A= ... = lim(n->∞) (1-1/n)^n    // 1=1/e ?

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| (還原)微積分詮釋 |
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http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/download/precal/PPT/Chapter%2002_08.pdf
假設微積分是由求算函數面積問題開始: 設F爲f的面積函數. 由函數面積義意可得:

    (F(x+h)-F(x)) ≒ (f(x+h)+f(x))*(h/2)    // h是個足夠小的偏移(測試)量
<F>0)是f(x)

F期望性質: (1)誤差|lhs-rhs|隨微小偏移量h嚴格遞遞減 (2)h=0時,lhs=rhs
因lhs的h不能是0,所以微積分的基本問題就是尋求能使以上敘述成立的F(或f)...
故,上敘述可表達成:

  D(f(x))= lim(h->0) (F(x+h)-F(x))/h = f(x)

  註: 希望這種解釋可避開不必要的無限大(或小)的問題,進而提供一些悖論或理論較正確
      的解釋基礎,如Zeno悖論,循環小數,...,其實還有更多(指數,Cantor集合,無限級數...).

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訪客

 

[數學](還原)微積分詮釋

訪客 於 星期三 三月 27, 2024 8:33 pm


由於(在其它地方)反應"激烈",主要是有關"循環小數爲無理數"部份. 所以重貼更新的[實數]部份

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| 實數 |
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n-進制定㸃數::= 由n-進制數字串所表達的數. 此字串可含一個負號或小數點:

         <fixed_point_number>::= [-] <dstr1> [ . <dstr2> ]
         <dstr1>::= 0 | <nzd> { 0, <nzd> }
         <dstr2>::= { 0, <nzd> } <nzd>
         <nzd> ::= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)   // '數字'會隨進制改變

         對於任兩相同n-進制的進制數x,y, x,y所表的數相同 iff x,y的
         <fixed_point_number>表達完全相同.

實數ℝ::= {x| x爲n-進制定㸃數符號所能表達之數. 表達x的數字串符號可無限長}

         註: 無限長(無法有限表達)的數並未嚴格定義

         註: 此定義隠含表明循環小數爲無理數. 順便簡短說明常見的代數魔術証明:
               (1) x= 0.999...
               (2) 10x= 9+x  // 10x= 9.999...
               (3) 9x=9
               (4) x=1
             解答: 沒有公理或定理可証(1) => (2)

         註: 若數字x在轉換至(任)n-進制數過程無法終結, x即不能以兩個整數比表達.
             因爲以下敘述恆成立: ∀x,a∈ℚ, x-a∈ℚ

實數基本上就這麽簡單. 極限理論爲尋找導數的方法論,與實數定義無關 (若有關係,類似
以上的'ℝ'也要先定義,否則很難避開遁環論証問題).
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訪客

 

[數學] (還原)微積分詮釋

訪客 於 星期四 三月 28, 2024 11:37 pm


爲省版面,只列出[實數]部份. 新增兩個註譯以解答多人的疑問有關實數本質及循環小數爲無理數的証明:
https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/RealNumber-zh.txt/download

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| 實數 |
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n-進制定㸃數::= 由n-進制數字串所表達的數. 此字串可含一個負號或小數點:

         <fixed_point_number>::= [-] <dstr1> [ . <dstr2> ]
         <dstr1>::= 0 | <nzd> { 0, <nzd> }
         <dstr2>::= { 0, <nzd> } <nzd>
         <nzd> ::= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)   // '數字'會隨進制改變

         對於任兩相同n-進制的進制數x,y, x,y所表的數相同 iff x,y的
         <fixed_point_number>表達完全相同.

實數ℝ::= {x| x爲n-進制定㸃數符號所能表達之數. 表達x的數字串符號可無限長}

         註: 無限長(無法有限表達)的數無法全部都有明確定義,這是以離散符號表達
             實數的一個特性(似量子?). 譬如:

             A= lim(n->∞) 1-3/10^n = 0.999...
             B= lim(n->∞) 1-2/2^n  = 0.999...
             C= lim(n->∞) 1-1/n    = 0.999...
             ...

             另種說法是: 10*0.999... 連續乘10只能看到前面的9,看不到尾段的數結構.

             由於<fixed_point_number> 非常明確的真實且率扯到無限,任有限字組成的
             理論無法完全描述ℝ. '完備'是不可能的.

         註: 此定義隠含表明循環小數爲無理數. 順便簡短說明常見的代數魔術証明:
               (1) x= 0.999...
               (2) 10x= 9+x  // 10x= 9.999...
               (3) 9x=9
               (4) x=1
             解答: 沒有公理或定理可証(1) => (2)

         註: 判斷循環小數x是否爲有理數可以連續的減去循環部份p(i). 如果在有限步驟
        內 x-p(1)-p(2)-...=0, 則x爲有理數,否則爲無理數. 因爲若x爲有理數,
             剩餘部份 r(i)= x-p(1)-p(2)-... 必須爲一循環部份p(i). 但根據‘循環’
             定義, r(i)不爲p(i). 因此,循環小數爲無理數.

實數基本上就這麽簡單. 極限理論爲尋找導數的方法論,與實數定義無關 (若有關係,類似
以上的'ℝ'也要先定義,否則很難避開遁環論証問題).
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訪客

 

[數學](還原)微積分詮釋

訪客 於 星期一 四月 01, 2024 1:12 pm


這是目前全文,暫時有點纍,日後可能會有些修改:

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此文目的在於建立電腦算法基礎
此檔置於 https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/RealNumber-zh.txt/download
並會不時更新.

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| 實數 |
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n-進制定㸃數::= 由n-進制數字串所表達的數. 此字串可含一個負號或小數點:

         <fixed_point_number>::= [-] <dstr1> [ . <dstr2> ]
         <dstr1>::= 0 | <nzd> { 0, <nzd> }
         <dstr2>::= { 0, <nzd> } <nzd>
         <nzd> ::= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)   // '數字'會隨進制改變

         譬如: 78, -12.345, 3.1414159...(π)

         對於任兩相同n-進制的進制數x,y, x,y所表的數相同 iff x,y的
         <fixed_point_number>表達完全相同.

實數ℝ::= {x| x爲n-進制定㸃數符號所能表達之數. 表達x的數字符號可無限長(參附䤸)}.
         實數定義必須能提供一種演算法(容許無限精度)來標示物理上的刻度尺. 就這點
         來說,實數並不完全是純理論,也是能用數學描述宇宙的基本原因.

         註: 無限長(無法有限表達)的數無法全都有明確定義,因爲存有不可表達的數.
             這是以離散符號表達實數的一個特性(似量子?). 譬如:

             A= lim(n->∞) 1-3/10^n = lim 0.999... =1
             B= lim(n->∞) 1-2/2^n  = lim 0.999... =1
             C= lim(n->∞) 1-1/n    = lim 0.999... =1
             ...

             另種說法是 10*0.999... 連續乘10只能看到前面的9,看不到尾段的數結構.
             (10*0.999... 的處理方式改變了數的結構. 對於無限級數,這點很重要,
              因無限級數所定義的數可能因此己改變)

             由於<fixed_point_number> 非常明確的真實且牽扯到無限,任有限字組成的
             理論無法完全描述ℝ,'完備'是不可能的.

         註: 此定義隠含表明循環小數爲無理數. 順便簡短說明常見的代數魔術証明:
               (1) x= 0.999...
               (2) 10x= 9+x  // 10x= 9.999...
               (3) 9x=9
               (4) x=1
             解答: 沒有公理或定理可証(1) => (2)

         註: 判斷循環小數x是否爲有理數可以連續的減去循環部份p(i). 如果在有限步驟
        內 x-p(1)-p(2)-...=0, 則x爲有理數,否則爲無理數. 因爲若x爲有理數,
             剩餘部份 r(i)= x-p(1)-p(2)-... 必須爲一循環部份p(i). 但根據‘循環’
             定義, r(i)不爲p(i). 因此,循環小數爲無理數.

實數基本上就這麽簡單. 極限是用來定義微分,及提供尋找導數的方法,與實數定義無關

(若有關係,類似以上的'ℝ'也要先定義,否則很難避開遁環論証問題).

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| 極限 |
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極限::= lim(x->a) f(x)=L
    http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/download/precal/PPT/Chapter%2002_04.pdf
    http://www.math.ncu.edu.tw/~yu/ecocal98/boards/lec6_ec_98.pdf
    https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
    https://www.geneseo.edu/~aguilar/public/notes/Real-Analysis-HTML/ch4-limits.html

    重點: L爲滿足ε-δ敘述情況下,x趨近a時的"極限值"(f(a)可以未定義,雖f於a連續時,
    L=f(a)). L爲依此"定義"出的值,不是"無限趨近...即相等"(沒有這種邏輯).

    譬如1: A= lim(n->∞) 1-1/n= lim(n->0⁺) 1-n= lim 0.999...=1
           B= lim(n->∞) 1+1/n= lim(n->0⁺) 1+n= lim 1.000..?=1

    譬如2: A=lim(x->ℵ₀) f(x), B=lim(x->ℵ₁) f(x) // ℵ₀,ℵ₁是否恰當是另個問題,但若
                        // 採“最終將相同”解釋,會有問題

    “極限”定義A=B, 但不是內容相等. 若採"x趨近..則等於.."說法, 則有很多邏輯上的
    問題.

    註:極限是定義在己存的數系上,無法用來定義其所趨近的數.

    註:極限的乘法公式(lim(x->c) (f(x)*g(x))= (lim(x->c) f(x))*(lim(x->c) g(x)) )
       可能有點問題:
       設A=lim(n->∞) (1-1/n)= 1
       A*A*..*A= ... = lim(n->∞) (1-1/n)^n    // 1=1/e ?

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| (還原)微積分詮釋 |
+------------------+
http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/download/precal/PPT/Chapter%2002_08.pdf
假設微積分是由求算函數面積問題開始: 設F爲f的面積函數. 由函數面積義意可得:

    (F(x+h)-F(x)) ≒ (f(x+h)+f(x))*(h/2)    // h是個足夠小的偏移(測試)量
<F>0)是f(x)

F期望性質: (1)誤差|lhs-rhs|隨微小偏移量h嚴格遞減(參註1) (2)h=0時,lhs=rhs
因lhs的h不能是0,所以微積分的基本問題就是尋求能使以上敘述成立的F(或f)...
故,上敘述可表達成:

  D(f(x))= lim(h->0) (F(x+h)-F(x))/h = f(x)

  註1: 課本的說法有點不同,但F期望性質要求所定義的數(即極限值L)須唯一.
  註2: 希望這種解釋可避開不必要的無限大(或小)的解釋問題,進而提供一些悖論或理論
       較正確的解釋基礎,如Zeno悖論,循環小數,...,其實還有更多(指數,Cantor集合,
       無限級數...).

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| 附錄 |
+------+
附錄1: ℝ,ℕ集合不可1-1對應.
    證: 設X= {x| x爲Peano公理所定義的數及包含程序不終止所能表的數(數性由後繼產生
  器定義}, 則X與ℕ的元素間無法建立1-1對應算法(單純因爲終止/不終止原因). 又因X
    與ℝ 同構, 故ℝ,ℕ集合不可1-1對應 (此証有點馬虎,應該沒問題).

附錄2: 我對無限大∞的經驗不足. 這堨u提供些較確定的原則:
  1.無限大∞也包含在ℝ中,無限大與一般有限數相同,能運算,能比大小,只是它有無限多個.
    舉一常見矛盾例子: "1+∞ =∞"與"lim(x->∞) f(x)"的趨近概念矛盾. 因若是,則分不出
  是否x+1,或x-1那個是趨近或遠離∞. '∞'的語意必須固定.
    註:若實數不含無限大,則'過時的實數'不應有無限級數. '過時的實數'不可能同時証明
       爲一致與完備. 譬如一些以數定義數的實數定義(不成立) (很抱歉,本人不清楚實際
       上的'過時的實數'有多少個). 若一致,則最多,它是此檔定義的實數的子集.
  2.無限大∞的語意基本上是指一個程序迴圈(如:Peano公理). 特性是"永不終止" (此於
    程序的証明中可能意思是'不可決定'或‘矛盾‘). 另個相關問題是稠密性的敘述不完整,
    因對於有理數,稠密性的應用必須終止,實數則無此要求.
  3.無限大∞也包含Cantor序數,因爲'數'的概念很原始. 雖然'序數'有其定義,它也用到了
  計數概念(另,ℝ中的加乘運算是封閉的).

附錄3: 二維數可表平面. 在二維數的觀點下,只要滿足距離公設 (1.點群平移不改變點群
    間的距離 2.點群的係數積不改變點群間的距離比) 即可建構歐氏幾何系統.
    這媟Q說的是: 這種'質點宇宙'是根據我們的預設性質所建構的. 我們終究是在探索
    知識自身的語意. 並且,只要邏輯成立,應都可找到相應事實. 反向來說,由物理來探索
    '實數'基本上是成立的. 依數位時代的說法,宇宙是個計算機.

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訪客

 

[數學](還原)微積分詮釋

訪客 於 星期二 四月 16, 2024 2:27 pm


新增些有關無限大的敘述+ 改善敘述及加些較主觀想法= 解釋更完整清楚

這是目前最後版本, 歡迎完整複製轉載.

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此文目的在於建立電腦算法基礎
此檔置於 https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/RealNumber-zh.txt/download
並會不時更新.

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| 實數 |
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n-進制定㸃數::= 由n-進制數字串所表達的數. 此字串可含一個負號或小數點:

         <fixed_point_number>::= [-] <dstr1> [ . <dstr2> ]
         <dstr1>::= 0 | <nzd> { 0, <nzd> }
         <dstr2>::= { 0, <nzd> } <nzd>
         <nzd>  ::= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)   // '數字'會隨進制改變

         譬如: 78, -12.345, 3.1414159...(π)

         n-進制定㸃數的加減算法同小學教的(或算盤上的)算法. 任兩相同n-進制的進制
         數a,b 所表的數相同 iff a,b的 <fixed_point_number>表達完全相同(或a-b=0).
         若不同, 則ab, 擇一成立 (三一律).

A=B ::= 1. A≡A                 // A≡B 指"嚴格同構"
        2. A≡B ∞) 1-3/10^n = lim 0.999... =1
             B= lim(n->∞) 1-2/2^n  = lim 0.999... =1
             C= lim(n->∞) 1-1/n    = lim 0.999... =1
             ...

             另種說法是 10*0.999... 連續乘10只能看到前面的9,看不到尾段真正的數
             結構. (10*0.999... 的處理方式改變了數結構. 對於無限級數,這點很重要,
             因無限級數所定義的數可能因此己改變)

             由於<fixed_point_number> 非常明確的真實且牽扯到無限,任有限字組成的
             理論無法完全描述ℝ,'完備'是不可能的.

         註: 此定義隠含表明循環小數爲無理數. 順便簡短說明常見的代數魔術証明:
               (1) x= 0.999...
               (2) 10x= 9+x  // 10x= 9.999...
               (3) 9x=9
               (4) x=1
             解答: 沒有公理或定理可証(1) => (2).
                   (2)是(1)的無限多種解釋中的一種解釋.

         註: 判斷循環小數x是否爲有理數可以連續的減去循環部份p(i). 如果在
             有限步驟內 x-p(1)-p(2)-...=0, 則x爲有理數,否則爲無理數. 因爲若x爲
             有理數,剩餘部份 r(i)= x-p(1)-p(2)-... 必須爲一循環部份p(i). 但根據
             ‘循環’定義, r(i)不爲p(i). 因此,循環小數爲無理數.

實數基本上就這麽簡單. 極限是用來定義微分,及提供尋找導數的方法,與實數定義無關
(若有關係,類似以上的'ℝ'也要先定義,否則很難避開遁環論証問題).

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| 極限 |
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極限::= lim(x->a) f(x)=L
    http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/download/precal/PPT/Chapter%2002_04.pdf
    http://www.math.ncu.edu.tw/~yu/ecocal98/boards/lec6_ec_98.pdf
    https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
    https://www.geneseo.edu/~aguilar/public/notes/Real-Analysis-HTML/ch4-limits.html

    極限的精髓在於提供一種不經由等式來描述數(即,L)的方法. 極限意思是說: x趨近a
    (x≠a)時,f(x)的極限是L (滿足ε-δ敘述), 不是"當x趨近於a, 最後f(a)等於L".

    譬如1: A= lim(n->∞) 1-1/n= lim(n->0⁺) 1-n= lim 0.999...=1
           B= lim(n->∞) 1+1/n= lim(n->0⁺) 1+n= lim 1.000..?=1

    譬如2: A=lim(x->ℵ₀) f(x), B=lim(x->ℵ₁) f(x) // ℵ₀,ℵ₁是否恰當是另個問題,但若
                        // 採“最終將相同”解釋,會有問題

    “極限”定義A=B, 但不是說極限內容相等. 若採"x趨近..則等於.."說法, 則有很多
    邏輯上的問題.

    註:極限是定義在己存的數系上,極限無法用來定義其所使用的(趨近序列)數.

    註:極限的乘法公式(lim(x->c) (f(x)*g(x))= (lim(x->c) f(x))*(lim(x->c) g(x)) )
       可能有點問題:
       設A=lim(n->∞) (1-1/n)= 1
       A*A*..*A= ... = lim(n->∞) (1-1/n)^n    // 1=1/e ?

    註:'無限小'事實上可能並不小,因每個'可列出'的趨近序列所表區間[x,c),大致上來說
       ,仍與實數ℝ 1-1對應.

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| (還原)微積分詮釋 |
+------------------+
http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/download/precal/PPT/Chapter%2002_08.pdf
假設微積分是由求算函數面積問題開始: 設F爲f的面積函數. 由函數面積義意可得:

    (F(x+h)-F(x)) ≒ (f(x+h)+f(x))*(h/2)    // h是個足夠小的偏移(測試)量
<F>0)是f(x)

F期望性質: (1)誤差|lhs-rhs|隨微小偏移量h嚴格遞減(參註1) (2)h=0時,lhs=rhs
   因lhs的h不能是0,所以微積分的基本問題就是尋求能使以上敘述成立的F(或f)...
   故,上敘述可表達成:

   D(f(x))= lim(h->0) (F(x+h)-F(x))/h = f(x)

   註1: 課本的說法有點不同,但F期望性質要求所定義的數(即極限值L)須唯一,其它不知道
   註2: 希望這種解釋可暫時避開不必要的無限大(或小)的解釋問題,進而提供一些悖論
        或理論較正確的解釋基礎,如Zeno悖論,循環小數,...,其實還有更多(指數,Cantor
        集合, 無限級數...).

+------+
| 附錄 |
+------+
附錄1: 僅舉個例子,理論上的ℝ可以這麼編(數學,真理是編出來的)以方便公式証明:
    Eℕ ::= {n| n爲Peano 公理所定義的自然數(n∈ ℕ<0>), 但包含無限次應用
           "n∈ℕ => S(n)∈ℕ"所得之數(無限多個無限大) }
    Eℤ ::= {n| n∈Eℕ 或 -n∈Eℕ }
    ℝ  ::= {p/q| p,q∈Eℤ, q>=2 }

附錄2: ℝ,ℕ集合間不存在1-1對應程序.
    證: 設X= {x| x爲Peano公設所定義的數及包含程序不終止所能表的數(即無限長數字所
        能表達的各種數}, 則X與ℕ的元素間無法建立1-1對應算法(單純因爲終止/不終止
        原因). 又因X與ℝ 同構, 故ℝ,ℕ集合不可1-1對應 (此証有點馬虎,應該沒大問題).
        此性質間接說明,多數ℝ中的數是無法以有限字符說明的.
    註: 以上X集合也可用於說明0.999...循環小數本身(當作1-進制數)就可用來定義一
        同構的實數集. 無論如何,"循環小數0.999..."事實上可表一個非常大的數集合.

附錄3: 我對無限大∞的經驗不足. 這堨u提供些較確定的原則:
  1.由實數定義,無限大∞也包含在ℝ中,無限大與一般有限數相同,能運算,能比大小,只是它
    有無限多個. 舉一常見矛盾例子: "1+∞ =∞"與"lim(x->∞) f(x)"的趨近概念矛盾. 因若
    是,則分不出是否x+1,或x-1那個是趨近或遠離∞. '∞'的語意必須唯一.
    註:若實數不含無限大,則'過時的實數'不應有無限級數. '過時的實數'不可能同時証明
       爲一致與完備. 譬如一些以數定義數的實數定義(不成立) (很抱歉,本人不清楚實際
       上的'過時的實數'有多少個. 譬如阿基米德性質應是在定義數,但使用無限累加來
       定義無限小不存在是很有問題的. 又譬如Dedekind cut理論,除了上述問題外,更
       宣稱"可建造每一實數"...假敘述). 若一致,則最多,它是此檔定義的實數的子集.
  2.無限大∞的語意基本上是指一個程序迴圈(如:Peano公理). 特性是"永不終止" (此於
    程序的証明中可能意思是'不可決定'或‘矛盾‘). 另個相關問題是稠密性的敘述不完整
    (如同Peano公理), 因對於有理數,稠密性的應用必須終止,實數則無此要求.
  3.無限大∞也包含Cantor序數,因爲'數'的概念很原始. 雖然'序數'有其定義,它也用到了
  計數概念(另,ℝ中的加乘運算是封閉的).
  4.在’∞‘語意唯一的情況下,以下三種e(自然對數底)的'數'義意不同:
    e  ::= lim(n->∞) (1+1/n)^n = (1+1/∞)^∞
    e^k::= lim(n->∞) (1+k/n)^n = (1+k/∞)^∞
    e^k::= Σ(n=0,∞) k^n/n!

附錄4: 二維數可表平面. 在二維數的觀點下,只要滿足距離公設 (1.點群平移不改變點群
    間的距離 2.點群的係數積不改變點群間的距離比) 即可建構歐氏幾何系統.
    這媟Q說的是: 這種'質點宇宙'是根據我們的預設性質所建構的. 我們終究是在探索
    知識自身的語意. 並且,只要邏輯成立,應都可找到相應事實. 反向來說,由物理來探索
    '實數'基本上是成立的. 依數位時代的說法,宇宙是個天然的計算機.

附錄5: 收㪘(有極限)的無限級數應該使用"lim"或'≒'(除定義外)寫成,譬如:
    設f(n)= Σ(n=0,k) (-1^n)*(1/(2n+1)), lim(n->∞) f(n)= π/4
    (或 Σ(n=0,∞) (-1^n)*(1/(2n+1))≒ π/4) 這様義意比較精確點,較不易犯錯.
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訪客

 

[數學]實數-- 簡單就是數字可無限長的數

訪客 於 星期一 四月 29, 2024 9:18 am


新增有關實數,無限級數的更完整解釋. 這是目前版本, 歡迎完整複製轉載.

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此文目的在於建立電腦算法基礎
此檔置於 https://sourceforge.net/projects/cscall/files/MisFiles/RealNumber-zh.txt/download
並會不時更新.

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| 實數 |
+------+
n-進制定㸃數::= 由n-進制數字串所表達的數. 此字串可含一個負號或小數點:

         <fixed_point_number>::= [-] <wnum> [ . <frac> ]
         <wnum>::= 0 | <nzd> { 0, <nzd> }
         <frac>::= { 0, <nzd> } <nzd>
         <nzd> ::= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)   // '數字'會隨進制改變

         譬如: 78, -12.345, 3.1414159...(π)

         n-進制定㸃數的加減算法同小學教的(或算盤上的)算法. 任兩相同n-進制的進制
         數a,b 所表的數相同 iff a,b的 <fixed_point_number>表達完全相同(或a-b=0).
         若a≠b, 則a>b 或 a<b, 擇一成立 (三一律).

A=B ::= 1. A≡A                 // A≡B 指"嚴格同構"
        2. A≡B ∞) 1-3/10^n = lim 0.999... =1
             B= lim(n->∞) 1-2/2^n  = lim 0.999... =1
             C= lim(n->∞) 1-1/n    = lim 0.999... =1
             ...

             另種說法是 10*0.999... 連續乘10只能看到前面的9,看不到尾段真正的數
             結構. (10*0.999... 的處理方式改變了數結構. 對於無限級數,這點很重要,
             因無限級數所定義的數可能因此己改變)
            
             由於<fixed_point_number> 非常明確的真實且牽扯到無限,任有限字組成的
             理論無法完全描述ℝ,'完備'是不可能的.

         註: 此定義隠含表明循環小數爲無理數. 順便簡短說明常見的代數魔術証明:
               (1) x= 0.999...
               (2) 10x= 9+x  // 10x= 9.999...
               (3) 9x=9
               (4) x=1
             解答: 沒有公理或定理可証(1) => (2).
                   (2)是(1)的無限多種解釋中的一種解釋.

         註: 判斷循環小數x是否爲有理數可以連續的減去循環部份p(i). 如果在
             有限步驟內 x-p(1)-p(2)-...=0, 則x爲有理數,否則爲無理數. 因爲若x爲
             有理數,剩餘部份 r(i)= x-p(1)-p(2)-... 必須爲一循環部份p(i). 但根據
             ‘循環’定義, r(i)不爲p(i). 因此,循環小數不爲有理數(即無理數).

定理: x∈ℚ,x>0 iff 存在有限個q,q∈ℚ, 0<q>0 且,有限個q,...,使得x=q1+q2+...
      T F | F  // x∈ℚ,x>0 且,非有限個q,...,使得x=q1+q2+...
      F T | F  // x∉ℚ,x>0 且,有限個q,...,使得x=q1+q2+...
      F F | T  // x∉ℚ,x>0 且,非有限個q,...,使得x=q1+q2+...

定理: 有限長n-進制數所表數爲有理數. 非有限長n-進制數所表數爲無理數.
  証: 主要狀況是當數爲無限長小數. 對此,應用以上定理可証.

實數基本上簡單就是數字可無限長的數. 極限是用來定義微分,及提供尋找導數的方法,與
實數定義無關 (若有關係,類似以上的'ℝ'也要先定義,否則很難避開遁環論証問題).

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| 極限 |
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極限::= lim(x->a) f(x)=L
    http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/download/precal/PPT/Chapter%2002_04.pdf
    http://www.math.ncu.edu.tw/~yu/ecocal98/boards/lec6_ec_98.pdf
    https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)
    https://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function
    https://www.geneseo.edu/~aguilar/public/notes/Real-Analysis-HTML/ch4-limits.html

    極限的精髓在於提供一種不經由等式來描述數(即,L)的方法. 極限意思是說: x趨近a
    (x≠a)時,f(x)的極限是L (滿足ε-δ敘述), 不是"當x趨近於a, 最後f(a)等於L".

    譬如1: A= lim(n->∞) 1-1/n= lim(n->0⁺) 1-n= lim 0.999...=1
           B= lim(n->∞) 1+1/n= lim(n->0⁺) 1+n= lim 1.000..?=1

    譬如2: A=lim(x->ℵ₀) f(x), B=lim(x->ℵ₁) f(x) // ℵ₀,ℵ₁是否恰當是另個問題,但若
                        // 採“最終將相同”解釋,會有問題:
                                                // f(ℵ₀)與f(ℵ₁)是否相等?

    “極限”定義A=B, 但不是說極限內容相等. 若採"x趨近..則等於.."說法, 則有很多
    邏輯上的問題.

    註:極限是定義在己存的數系上,極限無法用來定義其所使用的(趨近序列)數.

    註:極限的乘法公式(lim(x->c) (f(x)*g(x))= (lim(x->c) f(x))*(lim(x->c) g(x)) )
       可能有點問題:
       設A=lim(n->∞) (1-1/n)= 1
       A*A*..*A= ... = lim(n->∞) (1-1/n)^n    // 1=1/e ?

    註:'無限小'事實上可能並不小,因每個'可列出'的趨近序列所表區間[x,c),大致上來說
       ,仍與實數ℝ 1-1對應.

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| (還原)微積分詮釋 |
+------------------+
http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/download/precal/PPT/Chapter%2002_08.pdf
假設微積分是由求算函數面積問題開始: 設F爲f的面積函數. 由函數面積義意可得:

    (F(x+h)-F(x)) ≒ (f(x+h)+f(x))*(h/2)    // h是個足夠小的偏移(測試)量
<F>0)是f(x)

F期望性質: (1)誤差|lhs-rhs|隨微小偏移量h嚴格遞減(參註1) (2)h=0時,lhs=rhs
   因lhs的h不能是0,所以微積分的基本問題就是尋求能使以上敘述成立的F(或f)...
   故,上敘述可表達成:

   D(f(x))= lim(h->0) (F(x+h)-F(x))/h = f(x)

   註1: 課本的說法有點不同,但F期望性質要求所定義的數(即極限值L)須唯一,其它不知道
   註2: 希望這種解釋可暫時避開不必要的無限大(或小)的解釋問題,進而提供一些悖論
        或理論較正確的解釋基礎.

+----------+
| 無限級數 |
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級數::= S= Σ(n=0,k) a(n)= a(0)+ a(1)+ a(2) +... +a(k)
  a(n)稱爲通項, a(0),a(1),...稱爲加項, n稱爲索引, 級數S爲各加項由首項a(0)加至尾
  項a(k)的總和. 級數S前(n<k)部份項的總和稱爲部份和. "a(0)+...+a(k)" 稱爲展開式.

無限級數::= 當級數有無限多的加項時(索引含∞),S稱爲無限級數. 一般而言,無限級數的
  加總運算無法在有限步驟內完成(這是∞的義意).

收㪘::= 無限級數的部份和序列有極限.

無限級數運算原則: 展開式的最後一項(索引爲∞的加項)必須列出,以表示加項結構.

  展開式的算術與一般非無限級數算法相同:
    例1: 設S= Σ(n=0,∞) a^n = 1+a+a^2+...+a^∞
      S= 1+a*(1+a+a^2+...+a^∞)- a*a^∞
      <=> S= 1+a*S-a^(∞+1)
      <=> S(1-a)=1-a^(∞+1)
      <=> S= (1-a^(∞+1))/(1-a)

    例2: 設S= Σ(n=1,∞) n = 1+2+3+...+n
      S= 1+2+3+...+n  // (1)
      S= n+...+3+2+1  // (2)
      2S= n*(n+1)     // (1)+(2)
      <=> S= n*(n+1)/2

  不列尾項時,展開式會有重排時的'魔術算法'問題, 因展開式重排結果可能會改變原級數
  的定義:
  闢如1: S可經由重排而成任意數:
         S= Σ(n=1,∞) n= 1+2+3+... =1+1+1+1+...= (1+1)+(1+1+1)+...
          = Σ(n=1,∞) n+1   // S定義被改變
            (或者 S=(1+2)+(3+4)+... = Σ(n=1,∞) 4*n-1)

  闢如2:
    S=1+2+4+8+...        // 忽略尾項(病式)
    <=> S=1+2*(1+2+4+8+...)  // 多種可能
    <=> S=1+2S
    <=> S=-1

  明示尾項可避免魔術算法問題:
    S=1+2+4+8+...+2^∞
    <=> S=1+2(1+2+4+...+2^(∞-1))
    <=> S=1+2S-2^(∞+1)
    <=> S=2^(∞+1)-1     // 這類忽略尾項得到S=-1的魔術算法例子在youtube上相當多
                        // (含∞的加項被乎略掉)

定理1: s1=s2 <=> s1-s2=0

定理2: Σ(n=0,∞) a(n)= a(0)+ Σ(n=1,∞) a(n)
                    = a(∞)+ Σ(n=0,∞-1) a(n)

定理3: Σ(n=0,∞) f(n) ± Σ(n=0,∞) g(n) = Σ(n=0,∞) f(n)±g(n)
定理4: Σ(n=0,∞) c*f(n)= c*(Σ(n=0,∞) f(n))
  證: 證略 (由級數展開式可證. 一些瑣碎規則未列)

  基本上,'有限'級數的公式亦適用於無限級數 (但,數學歸納法不適用於無限級數公式的
  證明,因爲∞的義意是'程序不終止',而於推理時,Peano公理的應用次數必須有限).

  註: 許多(特別有關π,e)無限級數‘等式’可由以上定理証明不成立. 這類式子實際上是
      近似式(極限值).
      如: Σ(n=1,∞) 1/n² ≒ π²/6
          Σ(n=0,∞) (-1^n)*(1/(2n+1)) ≒ π/4
          Σ(n=0,∞) k^n/n! ≒ e^k

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| 附錄 |
+------+
附錄1: 僅舉個例子,理論上的ℝ可以這麼編(數學,真理是編出來的)以方便公式証明:
    Eℕ ::= {n| n爲Peano 公理所定義的自然數(n∈ ℕ<0>), 但包含無限次應用
           "n∈ℕ => S(n)∈ℕ"所得之數(無限多個無限大) }
    Eℤ ::= {n| n∈Eℕ 或 -n∈Eℕ }
    ℝ  ::= {p/q| p,q∈Eℤ, q>=2 }

附錄2: ℝ,ℕ集合間不存在1-1對應程序.
    證: 設X= {x| x爲Peano公設所定義的數及包含程序不終止所能表的數(即無限長數字所
        能表達的各種數}, 則X與ℕ的元素間無法建立1-1對應算法(單純因爲終止/不終止
        原因). 又因X與ℝ 同構, 故ℝ,ℕ集合不可1-1對應 (此証有點馬虎,應無大問題).
        此性質間接說明,多數ℝ中的數是無法以有限字符說明的.
    註: 以上X集合也可用於說明0.999...循環小數本身(當作1-進制數)就可用來定義一
        同構的實數集. 無論如何,"循環小數0.999..."事實上可表一個非常大的數集合.

附錄3: 我對無限大∞的經驗不足. 這堨u提供些較確定的原則:
  1.由實數定義,無限大∞也包含在ℝ中,無限大與一般有限數相同,能運算,能比大小,只是它
    有無限多個. 舉一常見矛盾例子: "1+∞ =∞"與"lim(x->∞) f(x)"的趨近概念矛盾. 因若
    是,則分不出是否x+1,或x-1那個是趨近或遠離∞. '∞'的語意必須唯一.

    註:若實數不含無限大,則'過時的實數'不應有無限級數. '過時的實數'不可能同時証明
       爲一致與完備. 譬如一些以數定義數的實數定義(不成立) (很抱歉,本人不清楚實際
       上的'過時的實數'有多少個. 譬如阿基米德性質應是用於定義一個沒有無限大(或小
       )的數系,但此數系卻可使用無限累加及lim(x->∞) ...? 又譬如Dedekind cut理論,
       除了上述問題外,更宣稱"可建造每一實數"...假敘述). 因此,若一致(無矛盾),則
       最多,這種數系是此檔定義的實數的子集.

    總合來說,實數滿足 [1]三一律 [2]稠密(含步驟無限) [3]+*封閉(含步驟無限). 因此,
    可說實數集的特徾就是含無限大∞.
  2.無限大∞的語意基本上是指一個程序迴圈(如:Peano公理). 特性是"永不終止" (此於
    程序的証明中可能意思是'不可決定','未定義'或‘矛盾‘). 另個相關問題是稠密性的
    敘述不完整(如同Peano公理), 因對於有理數,稠密性的應用必須終止,實數則無此要求.
  3.無限大∞也包含Cantor序數,因爲'數'的概念很原始. 雖然'序數'有其定義,它也用到了
  計數概念(另,ℝ中的加乘運算是封閉的).
  4.在’∞‘語意唯一的情況下,以下三種e(自然對數底)的'數'義意不同:
    e::= lim(n->∞) (1+1/n)^n = (1+1/∞)^∞
    e^k= lim(n->∞) (1+k/n)^n = (1+k/∞)^∞
    e^k= Σ(n=0,∞) k^n/n!
  5.這個例子應有助於解釋無限大∞的概念:
    設 A(0)=0
       A(n)= (A(n-1)+1)/2
    問: A(∞)= ?
    答: 'A(∞)'值不在所給予的解答域中. 此答案亦適用基本的Zeno悖論,超級任務等悖論.

附錄4: 二維數可表平面. 在二維數的觀點下,只要滿足距離公設 (1.點群平移不改變點群
    間的距離 2.點群的係數積不改變點群間的距離比) 即可建構歐氏幾何系統.
    這媟Q說的是: 這種'質點宇宙'是根據我們的預設性質所建構的. 我們終究是在探索
    知識自身的語意. 並且,只要邏輯成立,應都可找到相應事實. 反向來說,由物理來探索
    '實數'基本上是成立的. 依數位時代的說法,宇宙(語意上)是個天然的計算機.

附錄5: 收㪘(有極限)的無限級數應該使用"lim"或'≒'(除定義外)寫成,譬如:
    lim(k->∞) Σ(n=0,k) (-1^n)*(1/(2n+1)) = π/4 或者
    Σ(n=0,∞) (-1^n)*(1/(2n+1))≒ π/4 這様義意比較精確點,較不易犯錯.
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訪客

 




微積分