由 benice 於 星期六 六月 19, 2010 12:43 pm
1.
行列式的某列元素皆乘上 k 後,所得到的新行列式的值為原來的 k 倍。
所以 A 的每列元素皆乘上 k 後,所得到的新行列式的值為原來的 k^n 倍,
即 det(kA) = (k^n)det(A)。 ■
或者由行列式的定義來證明:
令 A = [a(i,j)]
則 det(A) = Σ﹝± a(1,j1) × a(2,j2) × … × a(1,jn)﹞,
其中 (j1,j2,…,jn) 為 (1,2,…,n) 的重排。
det(kA)
= Σ﹝± ka(1,j1) × ka(2,j2) × … × ka(1,jn)﹞
= (k^n)Σ﹝±a(1,j1) × a(2,j2) × … × a(1,jn)﹞
= (k^n)det(A) ■
2.
A 為反對稱(skew symmetric) => A^t = -A
det(A)
= det(A^t)
= det(-A)
= (-1)^n det(A) ﹝第 1 題的結果﹞
= -det(A) ﹝因為 n 為奇數﹞
所以 det(A) = 0。 ■
3.
(a)
A = A-¹
=> det(A) = det(A-¹) = 1 / det(A)
=> [det(A)]² = 1
=> det(A) = ±1 ■
(b)
A^t = A-¹ ﹝即 A 為正交矩陣(orthogonal matrix)﹞
=> det(A) = det(A^t) = det(A-¹) = 1 / det(A)
=> det(A) = ±1 ■