由 benice 於 星期三 六月 02, 2010 8:28 am
10.
解方程組:
aX1 + bX2 + cX3 = O (O 為零向量) (*)
如果 (*) 只有唯一解 (a,b,c) = (0,0,0),則 {X1, X2, X3} 為線性獨立(linearly independent);
如果 (*) 除了 (0,0,0) 還有其他解,則 {X1, X2, X3} 為線性相依(linearly dependent)。
(*) 的係數矩陣 [ X1 | X2 | X3 ] 為
1 1 1
2 0 6
0 -1 2
1 1 0
經過列運算(排版不便,過程請自行運算),
以上矩陣的減縮列梯型矩陣(Reduced row echelon form)為
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
所以 (*) 只有唯一解 (0,0,0),故 {X1, X2, X3} 為線性獨立。 ■
7.
經過列運算(排版不便,過程請自行運算),
A 的減縮列梯型矩陣為
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
所以 AX = O 的解 (x1, x2, x3, x4) 和以下方程組相同
x1 + x3 = 0
x2 + x3 = 0
x4 = 0
令 x3 = t,則
x1 = -t
x2 = -t
x3 = t
x4 = 0
即 AX = O 的解可寫成 t(-1, -1, 1, 0)。
故 { (-1, -1, 1, 0) } 可生成(span) AX = O 的解空間(solution space)。 ■
35.
(a)
通過點 (2, -3, 1),(4, 2, 5) 之直線的參數式(parametric equation)為
x = 2 + (4 - 2)t = 2 + 2t
y = -3 + [2 - (-3)]t = -3 + 5t
z = 1 + (5 - 1)t = 1 + 4t
即 (x, y, z) = (2 + 2t, -3 + 5t, 1 + 4t), t 為實數。
(b)
解法類似 (a),略。 ■
34.
(a)
(x, y, z) = (3 + 4t, 4 - 5t, -2 + 2t), t 為實數。
(b)
解法類似 (a),略。 ■
5.
aW1 + bW2 + cW3 = O
=> a(V1 + V2) + b(V1 + V3) + c(V2 + V3) = 0
=> (a + b)V1 + (a + c)V2 + (b + c)V3 = 0
=> (a + b) = (a + c) = (b + c) = 0 ﹝因為 V1, V2, V3 為線性獨立﹞
=> a = b = c = 0
所以 W1, W2, W3 為線性獨立。
即 T = {W1, W2, W3} 為線性獨立集。 ■