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幾百年沒發題目啦
既然討厭的基測已經OVER...就來點娛樂吧!

定義具有下述性質的數稱為絕對質數(Absolutely Prime):
將一個質數寫成十進位制,對它的各位數字做任意排列,其結果仍為質數者稱之.
Ex, 17 71, 13 31,...etc.
試證:
1)在這個絕對質數的各位數字中,不可能同時出現1,3,7,9四個數碼.
2)在這個絕對質數的各位數字中,不可能同時出現3個a數碼和2個b數碼. (其中a不等於b)

宇智波鼬 寫到:幾百年沒發題目啦
既然討厭的基測已經OVER...就來點娛樂吧!

定義具有下述性質的數稱為絕對質數(Absolutely Prime):
將一個質數寫成十進位制,對它的各位數字做任意排列,其結果仍為質數者稱之.
Ex, 17 71, 13 31,...etc.
試證:
1)在這個絕對質數的各位數字中,不可能同時出現1,3,7,9四個數碼.
2)在這個絕對質數的各位數字中,不可能同時出現3個a數碼和2個b數碼. (其中a不等於b)

1. 若一數中同時有1,3,7,9,則能重排為x*10⁵+y, x∈N, a為1,3,7,9的數字組合;
由於在1,3,7,9的24個組合除以7能得出7的全部7種餘數{0,1,...,6}：
0: 3157, 5173, 7315
1: 3571, 5713, 7351
2: 5371, 7135, 7513
3: 1375, 1753, 3517
4: 1537, 3175, 5317
5: 1573, 3715, 5731
6: 1357, 1735, 3751, 5137, 7153, 7531
故 x*10⁵ 除以7的餘數無論是{0,1,...,6}的哪個，再加上y亦必有至少3個組合為7所盡除 => x*10⁵+y 有可能不是質數 => 不是絕對質數。

忽發奇想：進一步證明絕對質數的各位數字中不可能同時出現1,3,7,9四個數碼中的任意三個：
同樣道理，1,3,7,9中任意三個的24個組合除以7的餘數情況為下：
0:  175, 315, 357, 371, 735
1:  351, 715
2:  135, 317, 513, 751
3:  157, 731
4:  137, 375, 571, 753
5:  173, 537
6:  153, 517, 531, 573, 713
故絕對質數的各位數字中不可能同時出現1,3,7,9四個數碼的任意三個。

2. 起初以為這個比較難，但原來跟1的道理是一樣的：
設此數為x*10⁶+y, x∈N, y為三a二b的10種任意組合=11111*a+(b-a)*z, z為三0二1的10種任意組合, a,b∈{1,3,5,7},此數為x*10⁶+11111*a+(b-a)*z；
z%7的情況：
0:  1001, 10010
1:  1100
2:  1010
3:  101, 11000
4:  11
5:  110, 10001
6:  10100
由於7與其6個正整餘數皆互質，故(b-a)*z亦會得出全部7種餘數情況；
故無論(x*10⁶+11111*a)%7為{0,1,...,6}的哪個，再加上(b-a)*z亦必有至少一種組合為7所盡除，所以 x*10⁶+y 不能為絕對質數。