由 arthur 於 星期四 五月 24, 2007 7:46 pm
回覆:
題目是對的。
(有些較直觀的部份,為了節省時間,我就不證明了)
引理部分:
Cnp=n!/[p!(n-p)!]=[n*(n-1)*(n-2)*......*(n-p+1)]/(1*2*3*......*p)......(1)
又令[n/p]=x/p屬於正整數,則x必屬於{n,n-1,n-2,......,n-p+1},即(1)的分子部分各項中的一項,且為p的倍數。
又分子部分各項{n,n-1,n-2,......,n-p+1}為一對mod p的完全剩餘系(即集合中的每一項除p後恰好餘0,1,2,3,......,p-1),故n*(n-1)*(n-2)*......*(x-1)*(x+1)*......*(n-p+1)-(p-1)!≡(p-1)!-(p-1)!≡0(mod p)
證明:
題目要證Cnp≡[n/p](mod p),即Cnp-[n/p]≡0(mod p),
即[n*(n-1)*(n-2)*......*(n-p+1)]/(1*2*3*......*p)-x/p≡0(mod p),
即{[n*(n-1)*(n-2)*......*x*......*(n-p+1)]-x(p-1)!}/p!≡0(mod p),
即x[n*(n-1)*(n-2)*......*(x-1)*(x+1)*......*(n-p+1)-(p-1)!]/p!≡0(mod p),
即[n*(n-1)*(n-2)*......*(x-1)*(x+1)*......*(n-p+1)-(p-1)!]/(p-1)!≡0(mod p),
即n*(n-1)*(n-2)*......*(x-1)*(x+1)*......*(n-p+1)-(p-1)!≡0(mod p),
由引理知此式是正確的!
其實我的證明不夠完整,也不太清楚,但是提出來做一下參考,要寫嚴謹證明花太多時間了!