第十講 構造與論證
基礎班
1.證明：從1，3，5，……，99中任意選取26個數，必有其中兩個數的和是100。
證明：把這些數分組，（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。原來一共有50個數，所以現在被分成了50÷2=25組，一共取出了26個數，26＞25，根據抽屜原理可知，至少有一個組取了2個數，因爲一個組就是2個數，和都是100，所以取出的26個數中必有兩個數的和爲100。
2. 證明：在任意的三個自然數中，至少有兩個數的和或差是3的倍數。
證明：自然數除以3的余數可能是1、2、0；若這三個數中有兩個數除以3的余數相同，那麽這兩個數的差必是3的倍數；若這三個數除以3的余數都不相同，那麽除以3余1和余2的這兩個數的和必定是3的倍數。
3. 從1，2，3，……，99，100中任意取55個不同的自然數。在這55個數中是否一定能找到兩個數來，使它們的差等於9？
證明：可以。我們考慮如下的91個數對：（1，10）、（2，11）、（3，12）、……、（90，99）、（91，100）。這些數對中有91×2=182個數（重複計數），其中1~9，92~100這18個數各出現一次，10~91這82個數個出現兩次，於是在這182個數中至少有（55-18）×2＋18=92個數是我們選取的55個數中的數，由於92＞91，根據抽屜原理，其中必有一對數都是已選取的數，而它們的差恰是9。
4.求證：對於任意的8個自然數，一定能從中找到6個數a,b,c,d,e,f,使得（a-b）（c-d）（e-f）是105的倍數。
證明：105=3×5×7。對於任意的8個自然數，必可選出2個數，使它們的差是7的倍數；在剩下的6個數中，又可選出2個數，使它們的差是5的倍數；在剩下的4個數中，又可選出2個數，使它們的差是3的倍數，則可滿足題意。
提高班
1.證明：從1，3，5，……，99中任意選取26個數，必有其中兩個數的和是100。
證明：把這些數分組，（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。原來一共有50個數，所以現在被分成了50÷2=25組，一共取出了26個數，26＞25，根據抽屜原理可知，至少有一個組取了2個數，因爲一個組就是2個數，和都是100，所以取出的26個數中必有兩個數的和爲100。
2. 證明：在任意的三個自然數中，至少有兩個數的和或差是3的倍數。
證明：自然數除以3的余數可能是1、2、0；若這三個數中有兩個數除以3的余數相同，那麽這兩個數的差必是3的倍數；若這三個數除以3的余數都不相同，那麽除以3
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