一• 前言
究竟人類從何時開始研究完美數,我們並不知道。但埃及人,已經很自然的用它來計算了。而畢達哥拉斯〈Pythagoras〉和他的門徒研究完美數的神秘色彩卻多於數的理論性質。
比較早對完美數的定義是關於整除的部份,當某數等於其所有因數和時,它即是完美數。例如 1=10/10,2=10/5,5=10/2
但是 10≠1+2+5,
所以 10不是完美數。
而最早找出的四個完美數是 6,28,496和8128,發現者已無法考證。
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064
二• 歐幾里得幾何原本關於完美數的記錄
西元前300年,在歐幾里得幾何原本是數學史上最早有關於完美數的記錄。因它是記錄在幾何原本中,所以讓人感到相當驚訝!其記錄在幾何原本第九冊性質36,敘述如下:
從1開始一直2倍的相加,直到總和為質數時,此質數再乘以最後相加的數,即為完美數。例如:1+2+4=7,因為7是質數,所以〈總和〉*〈最後一個數〉=7*4=28,28就是完美數。又如1+2+4+8+16=31,因為31是質數,所以31*16=496,496就是完美數。因此綜合得公式如下:
1+2+4+8+……+2k-1 =2k-1
若k>1,2k-1是質數時,則2k-1 (2k-1)就是完美數。
三• 希臘的Nicomachus對完美數的討論
於西元100年,希臘的Nicomachus是第二位嚴謹地討論完美數者,在他的名著Introductio Arithmetica中,將數分成三類:
第一類:過剩的數─整除部分的和超過自己。
第二類:不足的數─整除部分的和小於自己。
第三類:完美的數─整除部分的和等於自己。
後來Nicomachus雖未經證明,仍推論出關於完美數的部分性質。以現代的定義敘述如下:
(1) 第n個完美數有n位數。
(2) 所有完美數皆為偶數。
(3) 所有完美數的尾數都是6或8這二數交替。
(4) 以歐幾里得生成完美數之公式,即可得所有完美數。換句話說,當 k > 1,而2k-1 是質數時,每一個完美數的型態都是2k-1 (2k-1)。
(5) 完美數有無限多個。
接下來我們將說明後來有哪些人證明(1)和(3)是錯誤的,而(2),(4)和(5)仍是問題。雖然(1)~(5)項很多人當成真理,事實上並未被證實,如完美數6,28,496,8128使人們誤以為(3)是正確的。Saint Augustine(354-430)在其名著The City of God中更寫道─6這個數本身即是完美數,並不是因為在6天內上帝就創造了萬物;相反的是因為6這個數是完美的,所以上帝才在6天內創造萬物。
四• 阿拉伯數學家對完美數的研究
阿拉伯數學家對完美數亦相當著迷,其中Thabit ibn Qurra驗證出,當p是質數時,2n p的型式必是完美數。而Ibn al-Haytham不但提出歐幾里得性質的逆命題,並證明了當2k-1是質數時,型如2k-1 (2k-1)必是完美數。
五• 歐洲數學家對完美數的研究
1500年來歐洲數學家皆認為Nicomachus的推論是正確的,甚至有數學家相信另一未被證實而且錯誤的結論─當k是奇數時,2k-1 (2k-1)是完美數。
1461年第五個完美數被發現,過不久第六個完美數也被發現了,但未能確定發現者是誰。直到1536年,Hudalrichus Regiusg是第一位推翻對於後來數學家認為是常識的Nicomachus性質,在他的著作Utriusque Atithmetics中指出211-1=2047=23*89。由此發現第一個質數p,使得2p-1 (2p-1)不是完美數。他又證明了213-1=8191是質數,所以發現第五個完美數212 (213-1)=33550336。而第五個完美數卻有8位數,證明了Nicomachus的第一個推論是錯誤的。
六• 1603年Cataldi對完美數的研究
到了1603年,Cataldi利用它的質數表,發現217-1=131071是質數,所以發現第六個完美數216 (217-1)=8589869056。而第五個及第六個完美數的尾數是6,這項結果證明了Nicomachus的第三個推論是錯誤的。Cataldi又利用它的質數表,發現 219-1=524287是質數,所以發現第七個完美數218 (219-1)=137438691328。而第五個及第六個完美數的尾數是6,這項結果證明了Nicomachus的第三個推論是錯誤的。Cataldi雖然具有發現二個完美數的重大成就,但他仍下錯結論。在其著作Utriusque Arithmetices中寫著指數p=2,3,5,7,13,17,19,23,29,31,37時,使得2p-1 (2p-1)是完美數。當然,因為他已經利用他的質數表證明了當指數p=2,3,5,7,13,17,19時,是正確的;但是他另外四個證明23,29,31,37中,卻只有一個是對的。
七• 1638年,Descartes對完美數的研究
許多數學家對完美數相當有興趣,並嘗試著提出理論。如在1638年,Descartes曾寫信給Mersenne,寫著:
我想我可以由歐幾里得的公式證明,沒有不是偶數的完美數;但奇數的完美數必是某一質數乘以一完全平方數,且其平方根為質數的合成。如22021是質數,9018009的平方根是由質數3,7,11,13的合成,所以22021*9018009=198585576189是完美數。…
八• 對完美數有重大貢獻的Fermat
下一個對完美數有重大貢獻的是Fermat。1640年6月他寫信給Mersenne告訴他關於完美數他的發現,寫著:
…我已經發現以下三項性質,首先定義完美數的根數,由指數所形成如下,其中1,2,3,4,5,6等是指數,下一行則為根數。
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
1 | 3 | 7 | 15 | 31 | 63 | 127 | 255 | 511 | 1023 | 2047 | 4095 | 8191 |
(1) 當指數是合成數時,他的根數即是合成數。如63的指數6是合成數,所以我們就說63是合成數。
(2) 當指數是質數時,他的根數減1可以被指數的兩倍整除。如127的指數7是質數,126可以是14的倍數。
(3) 當指數是質數時,他的根數不能被任何其他的質數整除。
以上三項漂亮性質,我將他稱為完美數的基本定理。
Fermat於1640年10月寫信給Frenicle de Bessy,信中證明對於任一質數p,如果有一整數a不能被p整除,則ap-1可以被p整除,也就是我們所知道的Fermat’s Little Theorem。可以肯定的說Fermat’s Little Theorem將完美數帶入一系列的研究。
在1640年6月他寫給Mersenne的信中,他利用Fermat’s Little Theorem的特例,證明出Cataldi的結論有二項錯誤,因為 223-1=47*178481是合成數和237-1=223*616318177是合成數。Fermat也使用了下列三個定理:
(1) 如果n是合成數時,則2n-1即是合成數。
(2) 如果n是質數時,則2n-2是2n的倍數。
(3) 如果n是質數,且p是2n-1的質因數時,則p-1是n的倍數。
九• Mersenne對完美數的結論
Mersenne對Fermat寄給他關於完美數的結論相當感興趣,而且很快提出他自己的證明,使許多數學家著迷好多年。於1644年,他出版Cogitata physica mathematica書中證明了當p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257時,2p-1是質數且2p-1 (2p-1)也是完美數。所以型如2p-1的質數,稱為Mersenne質數。
十• 對完美數有重大貢獻的Euler
下一個對完美數有重大貢獻的是Euler。1732年他發現第八個完美數230 (231-1)=2305843008139952128。這是125年來第一個被發現的完美數。接著於1738年,尤拉解決了Cataldi的結論最後一項錯誤,因為229-1不是質數。
在他兩份於生前未發表的手稿中,尤拉證明了歐幾里得的公式之逆命題,每一個偶完美數的型式必是2p-1(2p-1);由此也很容易的導出所有偶完美數的尾數是6或8(但並不是交替出現)。尤拉更嘗試著找出奇完美數是否存在?後來尤拉利用在1638年Descartes 寫給Mersenne信中所提的結論,證明了每一個奇完美數,當4n+1是質數時,其型式必是(4n+1)4k+1b²。他也提出了當p=41和p=47時,2p-1(2p-1)是完美數,但是在1753年,他發現了自己錯誤的性質並修正之。
對於完美數的研究,已經變成企圖去檢驗,Mersenne在他Cogitata physica mathematica書中證明的是否正確了。而尤拉更留下了將近150年來,最大的完美數230(231-1)。其他數學家像Peter Barlow,於1811年在他Theory of Numbers書中寫著:
…完美數230(231-1),是已發現的完美數中最大的。
十一•1876年,Lucas發現了Mersenne證明中第一個錯誤
於1876年,Lucas發現了Mersenne證明中,第一個錯誤。雖然他的方法無法找出267-1的任何因數,但他卻能證明267-1不是質數。同時,當Lucas證明2127-1是Mersenne的質數,和2126(2127-1)是一個完美數時,也就是說Lucas發現了Mersenne質數中,有一個是正確的。Lucas另有一項重大貢獻,利用電子計算機找尋Mersenne質數,也就是找完美數。
十二•Catalan數列
當Lucas證明2127 –1是Mersenne質數之後,緊接著Catalan猜測,如果m=2p-1是質數,則2m-1也是質數。當p=3,7,127,170141183460469231731687303715884105727時,Catalan數列就是2p-1。當然如果這項猜測是正確的,就可以解決是否有無限個Mersenne質數,這個至今仍未解決的問題。但不管用什麼方法驗證,當p=170141183460469231731687303715884105727時,第四組Catalan數列2p-1是不是質數,已超出我們能力範圍。
於1883年,Pervusin證出260(261-1)是完美數。
於1903年,Col發現了,Lucas曾證明267-1是合成數,並找出該數的因數。於1903年10月,Col參加the American Mathematical Society會議時,發表一篇論文提出
267-1=147573952589676412927=761838257287*193707721
獲得觀眾熱烈掌聲。
十三•Mersenne證明中的錯誤逐一被發現
更多Mersenne證明中的錯誤逐一被發現。1911年,Power找出288(289-1)是完美數,幾年後他又找出2101-1是質數,因此2100(2101-1)是一個完美數。於1922年,Kraitchik發現了,關於Mersenne質數最大為257之證明是錯誤的,因他證出2257