∫01 √(1 - x2) dx = π/4 , 是怎麼算出來的?
[數學]小小問題
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由 lcflcflcf 於 星期二 七月 25, 2006 9:39 am
Let x be sinθ
dx/dθ=cosθ
dx=cosθdθ
1=sinθ=>θ=π/2
0=sinθ=>θ=0
∫{1~0}√(1-x^2)dx
=∫{π/2~0}√(1-sinθ^2)cosθdθ
=∫{π/2~0}cosθ^2dθ
=∫{π/2~0}((1+cos2θ)/2)dθ
=[θ/2+(sin2θ)/4]{π/2~0}
=(π/4+0)-(0+0)
=π/4
或者可看成...
x^2+y^2=1為半徑=1的圓
y=√(1-x^2)為半徑=1的半圓
∫{1~0}√(1-x^2)dx為半徑=1被x軸分開的半圓的x軸以上的面積
(由於圓x軸上下對稱,so)
=1/4圓的面積=π/4
dx/dθ=cosθ
dx=cosθdθ
1=sinθ=>θ=π/2
0=sinθ=>θ=0
∫{1~0}√(1-x^2)dx
=∫{π/2~0}√(1-sinθ^2)cosθdθ
=∫{π/2~0}cosθ^2dθ
=∫{π/2~0}((1+cos2θ)/2)dθ
=[θ/2+(sin2θ)/4]{π/2~0}
=(π/4+0)-(0+0)
=π/4
或者可看成...
x^2+y^2=1為半徑=1的圓
y=√(1-x^2)為半徑=1的半圓
∫{1~0}√(1-x^2)dx為半徑=1被x軸分開的半圓的x軸以上的面積
(由於圓x軸上下對稱,so)
=1/4圓的面積=π/4
人人為我 我為人人
~就讓一切隨風~
~就讓一切隨風~
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- 文章: 887
- 註冊時間: 2004-10-30
- 來自: HK
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