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已知m/n=1+(1/2)+(1/3)+...+(1/20),m,n是正整數且最大公因數是1,證明m是5的倍數

m/n=sigma[20!/k,{k,1,20}] / 20!
分母20!有5^4之因數，5|m ←→ 5^5|sigma[20!/k,{k,1,20}]

當k=1,2,3,4時
20!/1+20!/2+20!/3+20!/4=(2*3*4+1*3*4+1*2*4+1*2*3)*5*6*...*20≡0(mod 5^5) (因為5|粗體 ， 5^4|底線)

當k=6,7,8,9    11,12,13,14    16,17,18,19 時
因為mod5皆為1,2,3,4，即5|(7*8*9+6*8*9+6*7*9+6*7*8)，依此類推
即都是≡0(mod5^5)

再來討論k=5,10,15,20
20!/5+20!/10+20!/15+20!/20
=1*2*3*4*6*7*8*9*11*12*13*14*16*17*18*19*(10*15*20+5*15*20+5*10*20+5*10*15)
=.....*(6250)≡0(mod 5^5)


故5^5|sigma[20!/k,{k,1,20}] ←→ 5|m

This is my method, I am not familiar with mod.

Geo 1000