由 scsnake 於 星期四 四月 03, 2003 10:23 pm
m/n=sigma[20!/k,{k,1,20}] / 20!
分母20!有5^4之因數,5|m ←→ 5^5|sigma[20!/k,{k,1,20}]
當k=1,2,3,4時
20!/1+20!/2+20!/3+20!/4=(2*3*4+1*3*4+1*2*4+1*2*3)*5*6*...*20≡0(mod 5^5) (因為5|粗體 , 5^4|底線)
當k=6,7,8,9 11,12,13,14 16,17,18,19 時
因為mod5皆為1,2,3,4,即5|(7*8*9+6*8*9+6*7*9+6*7*8),依此類推
即都是≡0(mod5^5)
再來討論k=5,10,15,20
20!/5+20!/10+20!/15+20!/20
=1*2*3*4*6*7*8*9*11*12*13*14*16*17*18*19*(10*15*20+5*15*20+5*10*20+5*10*15)
=.....*(6250)≡0(mod 5^5)
故5^5|sigma[20!/k,{k,1,20}] ←→ 5|m