由 piny 於 星期四 二月 23, 2006 2:48 pm
欲利用秤一次之值判斷出是何罐藥罐出問題,則每個值必一定得唯一對應一種可能才行,即看到這個值則必能判斷出唯一答案。以下以(A,B,C,X,Y,Z)表示第一號藥罐拿A顆藥,第二號藥罐拿B顆藥,第三號藥罐拿C顆藥,第四號藥罐拿X顆藥,第五號藥罐拿Y顆藥,第六號藥罐拿Z顆藥。
1.
解法無限組。只要在六個藥罐拿出六種不同數目的藥即可。
假藥每顆都比真藥少1g,因此以標準重量來判斷,若各罐拿出之藥丸數為(A,B,C,X,Y,Z),則若比標準重量少了Xg就可以知道是該罐拿出X顆藥為裝假藥。
最簡潔的方法是一號罐拿一顆藥,二號罐拿二顆藥,三號罐拿三顆藥,四號罐拿四號罐,五號罐拿五顆藥,六號罐拿六顆藥。即(1,2,3,4,5,6),若與標準重量少了5g,則就是第五罐為假藥。
以下列出所有情況,以和標準重量之差表之,並將假藥罐數依「一、二、三、四、五、六」表明。(在已知存在一罐假藥下,共有6種可能)
少1→一
少2→二
少3→三
少4→四
少5→五
少6→六
2.
很顯然,由於未知假藥罐數,故所選出之六個數字之任意組合必要對應唯一值才可以。
又六個藥罐之假藥數有可能為一至六罐,在簡單的組合運算之下,其可能組合有C(6,1)+C(6,2)+C(6,3)+C(6,4)+C(6,5)+C(6,6),共63種。因此,此題解答亦有多解,只要所欲選出的數字,其任意組合下所排列出之六十三種數字皆不相同即可。
最簡潔的方法是(1,2,4,8,16,32),如果為少了40g,則為四、六罐為假藥。
以下列出所有情況,以和標準重量之差表之,並將假藥罐數依「一、二、三、四、五、六」表明。(在已知至少存在一罐假藥下,共有63種可能)
少 1→一
少 2→二
少 3→一、二
少 4→三
少 5→一、三
少 6→二、三
少 7→一、二、三
少 8→四
少 9→一、四
少10→二、四
少11→一、二、四
少12→三、四
少13→一、三、四
少14→二、三、四
少15→一、二、三、四
少16→五
少17→一、五
少18→二、五
少19→一、二、五
少20→三、五
少21→一、三、五
少22→二、三、五
少23→一、二、三、五
少24→四、五
少25→一、四、五
少26→二、四、五
少27→一、二、四、五
少28→三、四、五
少29→一、三、四、五
少30→二、三、四、五
少31→一、二、三、四、五
少32→六
少33→一、六
少34→二、六
少35→一、二、六
少36→三、六
少37→一、三、六
少38→二、三、六
少39→一、二、三、六
少40→四、六
少41→一、四、六
少42→二、四、六
少43→一、二、四、六
少44→三、四、六
少45→一、三、四、六
少46→二、三、四、六
少47→一、二、三、四、六
少48→五、六
少49→一、五、六
少50→二、五、六
少51→一、二、五、六
少52→三、五、六
少53→一、三、五、六
少54→二、三、五、六
少55→一、二、三、五、六
少56→四、五、六
少57→一、四、五、六
少58→二、四、五、六
少59→一、二、四、五、六
少60→三、四、五、六
少61→一、三、四、五、六
少62→二、三、四、五、六
少63→一、二、三、四、五、六
另外此種組合亦可以二進位計算來判斷,如40之二進位數字為101000,即表示第四及第六罐為裝假藥;55之二進位數字為110111,即表示一二三五六罐為裝假藥,至於十進位數字與二進位數字之轉換與探討,請自行研究囉!
3.
此題算是上二題之一般解,需考慮的重量每罐皆有三種可能(重1g、標準、輕1g),故六罐藥罐之真假藥總可能情況數為3^6=729種,僅以和標準重量之差表之,則最簡潔的可能表示方法為-364至364之所有整數解。在此僅舉出最簡潔的表示方法(1,3,9,27,81,243),此六個數字之正負和恰可個別唯一對應以上729種情況。為少364g、少363g、...、標準、多1g、多2g、...、多364g。以下舉幾例由所秤值來推算實際情形。
少364g。每一罐皆為輕的假藥即是。
少300g。第四號為重的假藥。第二、五、六號為輕的假藥。
少200g。第一、五號為重的假藥。第二、三、四、六號為輕的假藥。
多100g。第一、四、五號為重的假藥。第三號為輕的假藥。
以上方式可用三進位制的進階表示法來完成。請自行研究囉! ^_^
4.
由此可知,以上三題的最簡潔方式可為如下,以此題意下,無論藥罐數有多少,在藥丸數量不考慮取完之際,皆可於秤一次時完整測出。
1.(1,2,3,4,5,6,7,8,...)
2.(1,2,4,8,16,32,64,128,...)
3.(1,3,9,27,81,243,729,...)