定義：
磅秤：一種高精密之磅秤，其上可放置任意數量的物件，待置好物件後，按啟動後可知其總重量。
天秤：一種高精密之等臂天秤，天秤兩邊各可放置任意數量的物件，待置好物件後，按啟動後可知孰重孰輕。
秤一次：乃指其上道具按啟動鍵一次。
磅秤經典題：
有六個藥罐，每罐藥罐都有藥丸Ｎ顆（Ｎ大於１００００），藥丸有真假之分，裝真藥的藥罐中全部裝滿真藥，裝假藥的藥罐中全部裝滿假藥。允許將藥罐打開取出適量之藥丸來量秤。
１．若已知有一罐裡頭裝滿假藥，且真藥一顆為１０ｇ，假藥一顆為９ｇ，試利用磅秤秤一次找出哪一罐藥罐是裝假藥。
２．若不知有幾罐為真藥，幾罐為假藥，且真藥一顆為１０ｇ，假藥一顆為９ｇ，試利用磅秤秤一次找出哪幾罐裝真藥及哪幾罐裝假藥。
３．若假藥有可能是９ｇ或１１ｇ，真藥為１０ｇ，即每一個藥罐裡的藥有可能是９ｇ／１０ｇ／１１ｇ之其中一種，試利用天秤秤一次找出每一罐藥罐裡的藥各分別是幾ｇ。
４．當藥罐數增加時，試提出一般解，能否還是秤一次即可求出前三題之解？
天秤經典題：
１．有八個壁球，外觀皆相似，已知其中一球較輕，請用天秤秤兩次找出？
２．有十二個壁球，外觀皆相似，已知其中一球為壞球，但不知此壞球為較輕還是較重，請用天秤秤三次找出此壞球，並指出此壞球是較輕還是較重？
３．有十三個壁球，外觀皆相似，已知其中一球為壞球，但不知此壞球為較輕還是較重，唯另外提供一個標準重量的壁球，請用這顆標準球和天秤秤三次找出此壞球，並指出此壞球是較輕還是較重？
４．有三十九個壁球，外觀皆相似，已知其中一球為壞球，但不知此壞球為較輕還是較重，請用天秤秤四次找出此壞球，並指出此壞球是較輕還是較重？
５．若按啟動鍵後並未顯示結果，待做滿指定次數後再一次告知，則以上四題可否有解？
[數學]磅秤和天秤問題總整理(附詳解)
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由 piny 於 星期四 二月 23, 2006 2:48 pm
欲利用秤一次之值判斷出是何罐藥罐出問題，則每個值必一定得唯一對應一種可能才行，即看到這個值則必能判斷出唯一答案。以下以（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｘ，Ｙ，Ｚ）表示第一號藥罐拿Ａ顆藥，第二號藥罐拿Ｂ顆藥，第三號藥罐拿Ｃ顆藥，第四號藥罐拿Ｘ顆藥，第五號藥罐拿Ｙ顆藥，第六號藥罐拿Ｚ顆藥。
１．
解法無限組。只要在六個藥罐拿出六種不同數目的藥即可。
假藥每顆都比真藥少１ｇ，因此以標準重量來判斷，若各罐拿出之藥丸數為（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｘ，Ｙ，Ｚ），則若比標準重量少了Ｘｇ就可以知道是該罐拿出Ｘ顆藥為裝假藥。
最簡潔的方法是一號罐拿一顆藥，二號罐拿二顆藥，三號罐拿三顆藥，四號罐拿四號罐，五號罐拿五顆藥，六號罐拿六顆藥。即（１，２，３，４，５，６），若與標準重量少了５ｇ，則就是第五罐為假藥。
以下列出所有情況，以和標準重量之差表之，並將假藥罐數依「一、二、三、四、五、六」表明。（在已知存在一罐假藥下，共有６種可能）
少１→一
少２→二
少３→三
少４→四
少５→五
少６→六
２．
很顯然，由於未知假藥罐數，故所選出之六個數字之任意組合必要對應唯一值才可以。
又六個藥罐之假藥數有可能為一至六罐，在簡單的組合運算之下，其可能組合有Ｃ（６，１）＋Ｃ（６，２）＋Ｃ（６，３）＋Ｃ（６，４）＋Ｃ（６，５）＋Ｃ（６，６），共６３種。因此，此題解答亦有多解，只要所欲選出的數字，其任意組合下所排列出之六十三種數字皆不相同即可。
最簡潔的方法是（１，２，４，８，１６，３２），如果為少了４０ｇ，則為四、六罐為假藥。
以下列出所有情況，以和標準重量之差表之，並將假藥罐數依「一、二、三、四、五、六」表明。（在已知至少存在一罐假藥下，共有６３種可能）
少 １→一
少 ２→二
少 ３→一、二
少 ４→三
少 ５→一、三
少 ６→二、三
少 ７→一、二、三
少 ８→四
少 ９→一、四
少１０→二、四
少１１→一、二、四
少１２→三、四
少１３→一、三、四
少１４→二、三、四
少１５→一、二、三、四
少１６→五
少１７→一、五
少１８→二、五
少１９→一、二、五
少２０→三、五
少２１→一、三、五
少２２→二、三、五
少２３→一、二、三、五
少２４→四、五
少２５→一、四、五
少２６→二、四、五
少２７→一、二、四、五
少２８→三、四、五
少２９→一、三、四、五
少３０→二、三、四、五
少３１→一、二、三、四、五
少３２→六
少３３→一、六
少３４→二、六
少３５→一、二、六
少３６→三、六
少３７→一、三、六
少３８→二、三、六
少３９→一、二、三、六
少４０→四、六
少４１→一、四、六
少４２→二、四、六
少４３→一、二、四、六
少４４→三、四、六
少４５→一、三、四、六
少４６→二、三、四、六
少４７→一、二、三、四、六
少４８→五、六
少４９→一、五、六
少５０→二、五、六
少５１→一、二、五、六
少５２→三、五、六
少５３→一、三、五、六
少５４→二、三、五、六
少５５→一、二、三、五、六
少５６→四、五、六
少５７→一、四、五、六
少５８→二、四、五、六
少５９→一、二、四、五、六
少６０→三、四、五、六
少６１→一、三、四、五、六
少６２→二、三、四、五、六
少６３→一、二、三、四、五、六
另外此種組合亦可以二進位計算來判斷，如４０之二進位數字為１０１０００，即表示第四及第六罐為裝假藥；５５之二進位數字為１１０１１１，即表示一二三五六罐為裝假藥，至於十進位數字與二進位數字之轉換與探討，請自行研究囉！
３．
此題算是上二題之一般解，需考慮的重量每罐皆有三種可能（重１ｇ、標準、輕１ｇ），故六罐藥罐之真假藥總可能情況數為３^６＝７２９種，僅以和標準重量之差表之，則最簡潔的可能表示方法為－３６４至３６４之所有整數解。在此僅舉出最簡潔的表示方法（１，３，９，２７，８１，２４３），此六個數字之正負和恰可個別唯一對應以上７２９種情況。為少３６４ｇ、少３６３ｇ、．．．、標準、多１ｇ、多２ｇ、．．．、多３６４ｇ。以下舉幾例由所秤值來推算實際情形。
少３６４ｇ。每一罐皆為輕的假藥即是。
少３００ｇ。第四號為重的假藥。第二、五、六號為輕的假藥。
少２００ｇ。第一、五號為重的假藥。第二、三、四、六號為輕的假藥。
多１００ｇ。第一、四、五號為重的假藥。第三號為輕的假藥。
以上方式可用三進位制的進階表示法來完成。請自行研究囉！ ^_^
４．
由此可知，以上三題的最簡潔方式可為如下，以此題意下，無論藥罐數有多少，在藥丸數量不考慮取完之際，皆可於秤一次時完整測出。
１．（１，２，３，４，５，６，７，８，．．．）
２．（１，２，４，８，１６，３２，６４，１２８，．．．）
３．（１，３，９，２７，８１，２４３，７２９，．．．）
１．
解法無限組。只要在六個藥罐拿出六種不同數目的藥即可。
假藥每顆都比真藥少１ｇ，因此以標準重量來判斷，若各罐拿出之藥丸數為（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｘ，Ｙ，Ｚ），則若比標準重量少了Ｘｇ就可以知道是該罐拿出Ｘ顆藥為裝假藥。
最簡潔的方法是一號罐拿一顆藥，二號罐拿二顆藥，三號罐拿三顆藥，四號罐拿四號罐，五號罐拿五顆藥，六號罐拿六顆藥。即（１，２，３，４，５，６），若與標準重量少了５ｇ，則就是第五罐為假藥。
以下列出所有情況，以和標準重量之差表之，並將假藥罐數依「一、二、三、四、五、六」表明。（在已知存在一罐假藥下，共有６種可能）
少１→一
少２→二
少３→三
少４→四
少５→五
少６→六
２．
很顯然，由於未知假藥罐數，故所選出之六個數字之任意組合必要對應唯一值才可以。
又六個藥罐之假藥數有可能為一至六罐，在簡單的組合運算之下，其可能組合有Ｃ（６，１）＋Ｃ（６，２）＋Ｃ（６，３）＋Ｃ（６，４）＋Ｃ（６，５）＋Ｃ（６，６），共６３種。因此，此題解答亦有多解，只要所欲選出的數字，其任意組合下所排列出之六十三種數字皆不相同即可。
最簡潔的方法是（１，２，４，８，１６，３２），如果為少了４０ｇ，則為四、六罐為假藥。
以下列出所有情況，以和標準重量之差表之，並將假藥罐數依「一、二、三、四、五、六」表明。（在已知至少存在一罐假藥下，共有６３種可能）
少 １→一
少 ２→二
少 ３→一、二
少 ４→三
少 ５→一、三
少 ６→二、三
少 ７→一、二、三
少 ８→四
少 ９→一、四
少１０→二、四
少１１→一、二、四
少１２→三、四
少１３→一、三、四
少１４→二、三、四
少１５→一、二、三、四
少１６→五
少１７→一、五
少１８→二、五
少１９→一、二、五
少２０→三、五
少２１→一、三、五
少２２→二、三、五
少２３→一、二、三、五
少２４→四、五
少２５→一、四、五
少２６→二、四、五
少２７→一、二、四、五
少２８→三、四、五
少２９→一、三、四、五
少３０→二、三、四、五
少３１→一、二、三、四、五
少３２→六
少３３→一、六
少３４→二、六
少３５→一、二、六
少３６→三、六
少３７→一、三、六
少３８→二、三、六
少３９→一、二、三、六
少４０→四、六
少４１→一、四、六
少４２→二、四、六
少４３→一、二、四、六
少４４→三、四、六
少４５→一、三、四、六
少４６→二、三、四、六
少４７→一、二、三、四、六
少４８→五、六
少４９→一、五、六
少５０→二、五、六
少５１→一、二、五、六
少５２→三、五、六
少５３→一、三、五、六
少５４→二、三、五、六
少５５→一、二、三、五、六
少５６→四、五、六
少５７→一、四、五、六
少５８→二、四、五、六
少５９→一、二、四、五、六
少６０→三、四、五、六
少６１→一、三、四、五、六
少６２→二、三、四、五、六
少６３→一、二、三、四、五、六
另外此種組合亦可以二進位計算來判斷，如４０之二進位數字為１０１０００，即表示第四及第六罐為裝假藥；５５之二進位數字為１１０１１１，即表示一二三五六罐為裝假藥，至於十進位數字與二進位數字之轉換與探討，請自行研究囉！
３．
此題算是上二題之一般解，需考慮的重量每罐皆有三種可能（重１ｇ、標準、輕１ｇ），故六罐藥罐之真假藥總可能情況數為３^６＝７２９種，僅以和標準重量之差表之，則最簡潔的可能表示方法為－３６４至３６４之所有整數解。在此僅舉出最簡潔的表示方法（１，３，９，２７，８１，２４３），此六個數字之正負和恰可個別唯一對應以上７２９種情況。為少３６４ｇ、少３６３ｇ、．．．、標準、多１ｇ、多２ｇ、．．．、多３６４ｇ。以下舉幾例由所秤值來推算實際情形。
少３６４ｇ。每一罐皆為輕的假藥即是。
少３００ｇ。第四號為重的假藥。第二、五、六號為輕的假藥。
少２００ｇ。第一、五號為重的假藥。第二、三、四、六號為輕的假藥。
多１００ｇ。第一、四、五號為重的假藥。第三號為輕的假藥。
以上方式可用三進位制的進階表示法來完成。請自行研究囉！ ^_^
４．
由此可知，以上三題的最簡潔方式可為如下，以此題意下，無論藥罐數有多少，在藥丸數量不考慮取完之際，皆可於秤一次時完整測出。
１．（１，２，３，４，５，６，７，８，．．．）
２．（１，２，４，８，１６，３２，６４，１２８，．．．）
３．（１，３，９，２７，８１，２４３，７２９，．．．）
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piny - 大 師
- 文章: 398
- 註冊時間: 2005-10-15
- 來自: 台北市
由 piny 於 星期四 二月 23, 2006 2:49 pm
首先先要瞭解天秤每秤一次的情況只有三種，左邊較重、平衡、左邊較輕。因此欲在指定次數秤出所有情況，則每次的秤法必需提供有用的資訊才是。以下將壁球數排列為１，２，３，４，５，．．．，３９，分別為一號壁球、二號壁球、．．．、三十九號壁球，而（１，２─３，４）則表示為天秤的左邊放上一號球和二號球，天秤的右邊放上三號球和四號球，待放置好才按上啟動鍵。
１．
第一次先秤（１，２，３─４，５，６）
情況一：左邊較重，所以問題球為４，５，６號。
第二次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以問題球為５號。
情況二：平衡，所以問題球為６號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為４號。
情況二：平衡，所以問題球為７，８號。
第二次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以問題球為８號。
情況二：平衡，此情況不存在，因為題目已指名有一顆較輕。
情況三：左邊較輕，所以問題球為７號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為１，２，３號。
第二次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以問題球為２號。
情況二：平衡，所以問題球為３號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為１號。
綜上所有情況，可知道八顆球已知有一顆輕球的狀態下，秤兩次為已足。
２．
第一次先秤（１，２，３，４─５，６，７，８）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３，４球較重
或５，６，７，８球較輕。
第二次再秤（１，２，５─３，４，６）
情況一：左邊較重，所以可能１，２球較重或６球較輕。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
情況二：平衡，所以可能７，８球較輕。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以８球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能３，４球較重或５球較輕。
第三次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以３球較重。
情況二：平衡，所以５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以４球較重。
情況二：平衡，所以可能９，１０，１１，１２有一球較重或較輕。
第二次再秤（１，９─１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能９球較重或１０，１１球較輕。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以９球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
情況二：平衡，所以可能１２球較輕或較重。
第三次再秤（１─１２）
情況一：左邊較重，所以１２球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以１２球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能９球較輕或１０，１１球較重。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２，３，４球較輕
或５，６，７，８球較重。
第二次再秤（１，２，５─３，４，６）
情況一：左邊較重，所以可能５球較重或３，４球較輕。
第三次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以４球較輕。
情況二：平衡，所以５球較重。
情況三：左邊較輕，所以３球較輕。
情況二：平衡，所以可能７，８球較重。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以７球較重。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以８球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２球較輕或６球較重。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以２球較輕。
情況二：平衡，所以６球較重。
情況三：左邊較輕，所以１球較輕。
綜上所有情況，十二球有一顆壞球共有二十四種情況，已可分別由上述情況個別推論出，故秤三次為已足。
３．
假設此標準球為Ｈ號球。
第一次先秤（１，２，３，４，５─６，７，８，９，Ｈ）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３，４，５球較重
或６，７，８，９球較輕。
第二次再秤（１，２，３，６─４，５，１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３球較重。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以３球較重。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
情況二：平衡，所以可能７，８，９球較輕。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以８球較輕。
情況二：平衡，所以９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能４，５球較重或６球較輕。
第三次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以４球較重。
情況二：平衡，所以６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以５球較重。
情況二：平衡，所以１０，１１，１２，１３有一球較重或較輕。
第二次再秤（１，１２─１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能１２球較重或１０，１１球較輕。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以１２球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
情況二：平衡，所以１３球較輕或較重。
第三次再秤（１─１３）
情況一：左邊較重，所以１３球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以１３球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１２球較輕或１０，１１球較重。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以１２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２，３，４，５球較輕
或６，７，８，９球較重。
第二次再秤（１，２，３，６─４，５，１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能６球較重或４，５球較輕。
第三次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以５球較輕。
情況二：平衡，所以６球較重。
情況三：左邊較輕，所以４球較輕。
情況二：平衡，所以可能７，８，９球較重。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以７球較重。
情況二：平衡，所以９球較重。
情況三：左邊較輕，所以８球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２，３球較輕。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以２球較輕。
情況二：平衡，所以３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１球較輕。
綜上所有情況，十三球有一顆壞球共有二十六種情況，已可分別由上述情況個別推論出，故秤三次為已足。
４．
由前兩題，故可發現兩種情況皆可秤三次找出有問題的球並指出輕重。
ａ．已知十二球有一不知輕重的壞球可由三次秤出並指出該壞球輕重。
ｂ．已知十三球有一不知輕重的壞球可由三次秤出並指出該壞球輕重。
（ｂ需再提供一顆標準球）
第一次先秤（１∼１３，１４∼２６）
情況一：左邊較重，所以可能１∼１３球較重或１４∼２６球較輕。
第二次再秤（１∼５，１４∼１８─６∼９，１９∼２２，２７，２８）
情況一：左邊較重，所以可能１∼５球較重或１９∼２２球較輕。
第三次再秤（１，２，３，１９─４，５，２７，２８）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３球較重。
第四次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以３球較重。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
情況二：平衡，所以可能２０，２１，２２球較輕。
第四次再秤（２０－２１）
情況一：左邊較重，所以２１球較輕。
情況二：平衡，所以２２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２０球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能４，５球較重或１９球較輕。
第四次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以４球較重。
情況二：平衡，所以１９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以５球較重。
情況二：平衡，所以可能１０∼１３球較重或２３∼２６球較輕。
第三次再秤（１０，１１，２４─１２，１３，２３）
情況一：左邊較重，所以可能１０，１１球較重
或２３球較輕。
第四次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以２３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
情況二：平衡，所以可能２５，２６球較輕。
第四次再秤（２５─２６）
情況一：左邊較重，所以２６球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以２５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能１２，１３球較重
或２４球較輕。
第四次再秤（１２─１３）
情況一：左邊較重，所以１２球較重。
情況二：平衡，所以２４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１３球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能６∼９球較重或１４∼１８球較輕。
第三次再秤（６，７，１４─８，９，１５）
情況一：左邊較重，所以可能６，７球較重或１５球較輕。
第四次再秤（６─７）
情況一：左邊較重，所以６球較重。
情況二：平衡，所以１５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以７球較重。
情況二：平衡，所以可能１６，１７，１８球較輕。
第四次再秤（１６─１７）
情況一：左邊較重，所以１７球較輕。
情況二：平衡，所以１８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能８，９球較重或１４球較輕。
第四次再秤（８─９）
情況一：左邊較重，所以８球較重。
情況二：平衡，所以１４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以９球較重。
情況二：平衡，所以２７∼３９有一球較輕或較重。
第二次再秤（２７∼３１─１，３２∼３５）
情況一：左邊較重，所以可能２７∼３１球較重
或３２∼３５球較輕。
第三次再秤（２７，２８，３３─２９，３０，３２）
情況一：左邊較重，所以可能２７，２８球較重
或３２球較輕。
第四次再秤（２７─２８）
情況一：左邊較重，所以２７球較重。
情況二：平衡，所以３２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２８球較重。
情況二：平衡，所以可能３１球較重或３４，３５球較輕。
第四次再秤（３４－３５）
情況一：左邊較重，所以３５球較輕。
情況二：平衡，所以３１球較重。
情況三：左邊較輕，所以３４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能２９，３０球較重
或３３球較輕。
第四次再秤（２９─３０）
情況一：左邊較重，所以２９球較重。
情況二：平衡，所以３３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３０球較重。
情況二：平衡，所以３６∼３９有一球較輕或較重。
第三次再秤（３６，３７─１，３９）
情況一：左邊較重，所以可能３６，３７球較重
或３８球較輕。
第四次再秤（３６─３７）
情況一：左邊較重，所以３６球較重。
情況二：平衡，所以３８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３７球較重。
情況二：平衡，所以３９球較輕或較重。
第四次再秤（１─３９）
情況一：左邊較重，所以３９球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以３９球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能３６，３７球較輕
或３８球較重。
第四次再秤（３６─３７）
情況一：左邊較重，所以３７球較輕。
情況二：平衡，所以３８球較重。
情況三：左邊較輕，所以３６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能２７∼３１球較輕
或３２∼３５球較重。
第三次再秤（２７，３２，３３─２８，３４，３５）
情況一：左邊較重，所以可能３２，３３球較重
或２８球較輕。
第四次再秤（３２─３３）
情況一：左邊較重，所以３２球較重。
情況二：平衡，所以２８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３３球較重。
情況二：平衡，所以可能２９，３０，３１球較輕。
第四次再秤（２９─３０）
情況一：左邊較重，所以３０球較輕。
情況二：平衡，所以３１球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能３４，３５球較重
或２７球較輕。
第四次再秤（３４─３５）
情況一：左邊較重，所以３４球較重。
情況二：平衡，所以２７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３５球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１∼１３球較輕或１４∼２６球較重。
第二次再秤（１∼５，１４∼１８─６∼９，１９∼２２，２７，２８）
情況一：左邊較重，所以可能１４∼１８球較重或６∼９球較輕。
第三次再秤（６，７，１５─８，９，１４）
情況一：左邊較重，所以可能１５球較重或８，９球較輕。
第四次再秤（８─９）
情況一：左邊較重，所以９球較輕。
情況二：平衡，所以１５球較重。
情況三：左邊較輕，所以８球較輕。
情況二：平衡，所以可能１６，１７，１８球較重。
第四次再秤（１６－１７）
情況一：左邊較重，所以１６球較重。
情況二：平衡，所以１８球較重。
情況三：左邊較輕，所以１７球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１４球較重或６，７球較輕。
第四次再秤（６─７）
情況一：左邊較重，所以７球較輕。
情況二：平衡，所以１４球較重。
情況三：左邊較輕，所以６球較輕。
情況二：平衡，所以可能１０∼１３球較輕或２３∼２６球較重。
第三次再秤（１０，１１，２４─１２，１３，２３）
情況一：左邊較重，所以可能１２，１３球較輕
或２４球較重。
第四次再秤（１２─１３）
情況一：左邊較重，所以１３球較輕。
情況二：平衡，所以２４球較重。
情況三：左邊較輕，所以１２球較輕。
情況二：平衡，所以可能２５，２６球較重。
第四次再秤（２５─２６）
情況一：左邊較重，所以２５球較重。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以２６球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１０，１１球較輕
或２３球較重。
第四次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以２３球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能１∼５球較輕或１９∼２２球較重。
第三次再秤（１，２１，２２─２，１９，２０）
情況一：左邊較重，所以可能２１，２２球較重或２球較輕。
第四次再秤（２１─２２）
情況一：左邊較重，所以２１球較重。
情況二：平衡，所以２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２２球較重。
情況二：平衡，所以可能３，４，５球較輕。
第四次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以４球較輕。
情況二：平衡，所以５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能１９，２０球較重或１球較輕。
第四次再秤（１９─２０）
情況一：左邊較重，所以１９球較重。
情況二：平衡，所以１球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２０球較重。
綜上所有情況，三十九球有一顆壞球共有七十八種情況，已可分別由上述情況個別推論出，故秤四次為已足。
１．
第一次先秤（１，２，３─４，５，６）
情況一：左邊較重，所以問題球為４，５，６號。
第二次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以問題球為５號。
情況二：平衡，所以問題球為６號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為４號。
情況二：平衡，所以問題球為７，８號。
第二次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以問題球為８號。
情況二：平衡，此情況不存在，因為題目已指名有一顆較輕。
情況三：左邊較輕，所以問題球為７號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為１，２，３號。
第二次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以問題球為２號。
情況二：平衡，所以問題球為３號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為１號。
綜上所有情況，可知道八顆球已知有一顆輕球的狀態下，秤兩次為已足。
２．
第一次先秤（１，２，３，４─５，６，７，８）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３，４球較重
或５，６，７，８球較輕。
第二次再秤（１，２，５─３，４，６）
情況一：左邊較重，所以可能１，２球較重或６球較輕。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
情況二：平衡，所以可能７，８球較輕。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以８球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能３，４球較重或５球較輕。
第三次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以３球較重。
情況二：平衡，所以５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以４球較重。
情況二：平衡，所以可能９，１０，１１，１２有一球較重或較輕。
第二次再秤（１，９─１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能９球較重或１０，１１球較輕。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以９球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
情況二：平衡，所以可能１２球較輕或較重。
第三次再秤（１─１２）
情況一：左邊較重，所以１２球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以１２球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能９球較輕或１０，１１球較重。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２，３，４球較輕
或５，６，７，８球較重。
第二次再秤（１，２，５─３，４，６）
情況一：左邊較重，所以可能５球較重或３，４球較輕。
第三次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以４球較輕。
情況二：平衡，所以５球較重。
情況三：左邊較輕，所以３球較輕。
情況二：平衡，所以可能７，８球較重。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以７球較重。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以８球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２球較輕或６球較重。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以２球較輕。
情況二：平衡，所以６球較重。
情況三：左邊較輕，所以１球較輕。
綜上所有情況，十二球有一顆壞球共有二十四種情況，已可分別由上述情況個別推論出，故秤三次為已足。
３．
假設此標準球為Ｈ號球。
第一次先秤（１，２，３，４，５─６，７，８，９，Ｈ）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３，４，５球較重
或６，７，８，９球較輕。
第二次再秤（１，２，３，６─４，５，１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３球較重。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以３球較重。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
情況二：平衡，所以可能７，８，９球較輕。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以８球較輕。
情況二：平衡，所以９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能４，５球較重或６球較輕。
第三次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以４球較重。
情況二：平衡，所以６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以５球較重。
情況二：平衡，所以１０，１１，１２，１３有一球較重或較輕。
第二次再秤（１，１２─１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能１２球較重或１０，１１球較輕。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以１２球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
情況二：平衡，所以１３球較輕或較重。
第三次再秤（１─１３）
情況一：左邊較重，所以１３球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以１３球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１２球較輕或１０，１１球較重。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以１２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２，３，４，５球較輕
或６，７，８，９球較重。
第二次再秤（１，２，３，６─４，５，１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能６球較重或４，５球較輕。
第三次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以５球較輕。
情況二：平衡，所以６球較重。
情況三：左邊較輕，所以４球較輕。
情況二：平衡，所以可能７，８，９球較重。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以７球較重。
情況二：平衡，所以９球較重。
情況三：左邊較輕，所以８球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２，３球較輕。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以２球較輕。
情況二：平衡，所以３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１球較輕。
綜上所有情況，十三球有一顆壞球共有二十六種情況，已可分別由上述情況個別推論出，故秤三次為已足。
４．
由前兩題，故可發現兩種情況皆可秤三次找出有問題的球並指出輕重。
ａ．已知十二球有一不知輕重的壞球可由三次秤出並指出該壞球輕重。
ｂ．已知十三球有一不知輕重的壞球可由三次秤出並指出該壞球輕重。
（ｂ需再提供一顆標準球）
第一次先秤（１∼１３，１４∼２６）
情況一：左邊較重，所以可能１∼１３球較重或１４∼２６球較輕。
第二次再秤（１∼５，１４∼１８─６∼９，１９∼２２，２７，２８）
情況一：左邊較重，所以可能１∼５球較重或１９∼２２球較輕。
第三次再秤（１，２，３，１９─４，５，２７，２８）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３球較重。
第四次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以３球較重。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
情況二：平衡，所以可能２０，２１，２２球較輕。
第四次再秤（２０－２１）
情況一：左邊較重，所以２１球較輕。
情況二：平衡，所以２２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２０球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能４，５球較重或１９球較輕。
第四次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以４球較重。
情況二：平衡，所以１９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以５球較重。
情況二：平衡，所以可能１０∼１３球較重或２３∼２６球較輕。
第三次再秤（１０，１１，２４─１２，１３，２３）
情況一：左邊較重，所以可能１０，１１球較重
或２３球較輕。
第四次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以２３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
情況二：平衡，所以可能２５，２６球較輕。
第四次再秤（２５─２６）
情況一：左邊較重，所以２６球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以２５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能１２，１３球較重
或２４球較輕。
第四次再秤（１２─１３）
情況一：左邊較重，所以１２球較重。
情況二：平衡，所以２４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１３球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能６∼９球較重或１４∼１８球較輕。
第三次再秤（６，７，１４─８，９，１５）
情況一：左邊較重，所以可能６，７球較重或１５球較輕。
第四次再秤（６─７）
情況一：左邊較重，所以６球較重。
情況二：平衡，所以１５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以７球較重。
情況二：平衡，所以可能１６，１７，１８球較輕。
第四次再秤（１６─１７）
情況一：左邊較重，所以１７球較輕。
情況二：平衡，所以１８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能８，９球較重或１４球較輕。
第四次再秤（８─９）
情況一：左邊較重，所以８球較重。
情況二：平衡，所以１４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以９球較重。
情況二：平衡，所以２７∼３９有一球較輕或較重。
第二次再秤（２７∼３１─１，３２∼３５）
情況一：左邊較重，所以可能２７∼３１球較重
或３２∼３５球較輕。
第三次再秤（２７，２８，３３─２９，３０，３２）
情況一：左邊較重，所以可能２７，２８球較重
或３２球較輕。
第四次再秤（２７─２８）
情況一：左邊較重，所以２７球較重。
情況二：平衡，所以３２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２８球較重。
情況二：平衡，所以可能３１球較重或３４，３５球較輕。
第四次再秤（３４－３５）
情況一：左邊較重，所以３５球較輕。
情況二：平衡，所以３１球較重。
情況三：左邊較輕，所以３４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能２９，３０球較重
或３３球較輕。
第四次再秤（２９─３０）
情況一：左邊較重，所以２９球較重。
情況二：平衡，所以３３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３０球較重。
情況二：平衡，所以３６∼３９有一球較輕或較重。
第三次再秤（３６，３７─１，３９）
情況一：左邊較重，所以可能３６，３７球較重
或３８球較輕。
第四次再秤（３６─３７）
情況一：左邊較重，所以３６球較重。
情況二：平衡，所以３８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３７球較重。
情況二：平衡，所以３９球較輕或較重。
第四次再秤（１─３９）
情況一：左邊較重，所以３９球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以３９球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能３６，３７球較輕
或３８球較重。
第四次再秤（３６─３７）
情況一：左邊較重，所以３７球較輕。
情況二：平衡，所以３８球較重。
情況三：左邊較輕，所以３６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能２７∼３１球較輕
或３２∼３５球較重。
第三次再秤（２７，３２，３３─２８，３４，３５）
情況一：左邊較重，所以可能３２，３３球較重
或２８球較輕。
第四次再秤（３２─３３）
情況一：左邊較重，所以３２球較重。
情況二：平衡，所以２８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３３球較重。
情況二：平衡，所以可能２９，３０，３１球較輕。
第四次再秤（２９─３０）
情況一：左邊較重，所以３０球較輕。
情況二：平衡，所以３１球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能３４，３５球較重
或２７球較輕。
第四次再秤（３４─３５）
情況一：左邊較重，所以３４球較重。
情況二：平衡，所以２７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３５球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１∼１３球較輕或１４∼２６球較重。
第二次再秤（１∼５，１４∼１８─６∼９，１９∼２２，２７，２８）
情況一：左邊較重，所以可能１４∼１８球較重或６∼９球較輕。
第三次再秤（６，７，１５─８，９，１４）
情況一：左邊較重，所以可能１５球較重或８，９球較輕。
第四次再秤（８─９）
情況一：左邊較重，所以９球較輕。
情況二：平衡，所以１５球較重。
情況三：左邊較輕，所以８球較輕。
情況二：平衡，所以可能１６，１７，１８球較重。
第四次再秤（１６－１７）
情況一：左邊較重，所以１６球較重。
情況二：平衡，所以１８球較重。
情況三：左邊較輕，所以１７球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１４球較重或６，７球較輕。
第四次再秤（６─７）
情況一：左邊較重，所以７球較輕。
情況二：平衡，所以１４球較重。
情況三：左邊較輕，所以６球較輕。
情況二：平衡，所以可能１０∼１３球較輕或２３∼２６球較重。
第三次再秤（１０，１１，２４─１２，１３，２３）
情況一：左邊較重，所以可能１２，１３球較輕
或２４球較重。
第四次再秤（１２─１３）
情況一：左邊較重，所以１３球較輕。
情況二：平衡，所以２４球較重。
情況三：左邊較輕，所以１２球較輕。
情況二：平衡，所以可能２５，２６球較重。
第四次再秤（２５─２６）
情況一：左邊較重，所以２５球較重。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以２６球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１０，１１球較輕
或２３球較重。
第四次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以２３球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能１∼５球較輕或１９∼２２球較重。
第三次再秤（１，２１，２２─２，１９，２０）
情況一：左邊較重，所以可能２１，２２球較重或２球較輕。
第四次再秤（２１─２２）
情況一：左邊較重，所以２１球較重。
情況二：平衡，所以２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２２球較重。
情況二：平衡，所以可能３，４，５球較輕。
第四次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以４球較輕。
情況二：平衡，所以５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能１９，２０球較重或１球較輕。
第四次再秤（１９─２０）
情況一：左邊較重，所以１９球較重。
情況二：平衡，所以１球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２０球較重。
綜上所有情況，三十九球有一顆壞球共有七十八種情況，已可分別由上述情況個別推論出，故秤四次為已足。
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piny - 大 師
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- 註冊時間: 2005-10-15
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