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☆ ~ 幻星 ~ ☆ · 由 **☆ ~ 幻星 ~ ☆** 於星期日九月 25, 2005 4:39 pm

求證：
11 , 111 , 1111 , 11111 , ...... , 11...1(n個) , ...
中沒有平方數

galaxylee · 由 **galaxylee** 於星期日九月 25, 2005 5:01 pm

因為11....1(n個)是奇數
所以若11....1(n個)是完全平方數，必為某奇數之平方
但奇數之平方用4除餘1(因為(2k+1)^2=4k^2+4k+1)
11...1(n個)
=11...100(n位數)+11
100是4的倍數，11用4除餘3
所以11...1(n個)用4除餘3，不是用4除餘1
所以11...1(n個)不是完全平方數

註：22...2(n個)，33...3(n個)，.....，99...9(n個)，這些數都不是完全平方數

piny · 由 **piny** 於星期日十月 30, 2005 1:36 am

平方數末兩位僅有二十二種
分別為
００
０１，２１，４１，６１，８１
０４，２４，４４，６４，８４
２５
１６，３６，５６，７６，９６
０９，２９，４９，６９，８９

證明：
(25+x)^2-(25-x)^2=100x，所以(25+x),(25-x)其平方數末兩位相同，故僅需檢查１～２５的平方數即可

所以未存在末兩位為１１之平方數，得證

GFIF · 由 **GFIF** 於星期日十月 30, 2005 11:56 pm

設11...1(n個1)是平方數
因為11...1(n個1)是奇數，所以用8除必餘1
11...1000≡0(mod8)
111≡7(mod8)
所以11...1(n個1)用8除於7與用8除必餘1矛盾
所以11 , 111 , 1111 , 11111 , ...... , 11...1(n個) , ... 中沒有平方數
故得證

piny · 由 **piny** 於星期一十月 31, 2005 12:12 am

GFIF 寫到:設11...1(n個1)是平方數
因為11...1(n個1)的開平方是奇數，所以用8除必餘1
11...1000≡0(mod8)
111≡7(mod8)
所以11...1(n個1)用8除於7與用8除必餘1矛盾
所以11 , 111 , 1111 , 11111 , ...... , 11...1(n個) , ... 中沒有平方數
故得證

應加上紅色字方為完整

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[數學]數學題..(25)

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