由 一陣風 於 星期六 十月 29, 2005 9:53 pm
設甲,乙,丙各為x,y,z歲,
則由已知可得
3x + y = 2z..................(1)
3x^3 + y^3 = 2z^3.......(2)
由(1)得y = 2z - 3x代入(2)式
=> 3x^3 + (2z - 3x)^3 = 2z^3
=> x^3 + (2z - 3x)^3 = 2z^3 - 2x^3
=> (2z - 2x)[ x^2 - x(2z - 3x) + (2z - 3x)^2 ] = 2(z - x)(z^2 + xz + x^2)
若z = x,則在(1)式中得y = -z不合. 故z,x不同.
所以上式可約掉2(z - x)得
x^2 -x(2z - 3x) + (2z - 3x)^2 = z^2 + xz + x^2
整理可得
12x^2 - 15xz + 3z^2 = 0
=> x = z(不合) 或 4x = z
這一題"他們各自的年歲互為素數"應該是指互質吧?因4x = z不可能為兩個質數.
由x,z互質可得x = 1,z = 4,y = 5,驗算知合於原方程式.
故各自平方得1,16,25.