孫小萊~ 寫到:「數學,以正確的眼光觀之,所擁有的不只是真理,而且是至高無上的美—儉樸而冷酷,如同雕像擁有的美,沒有絲毫人類軟弱的本性,沒有畫作或音樂那麼絢爛的裝飾,他崇高而純粹,只有最偉大的藝術才能呈現他嚴格的完美。這種真正的喜悅,這種亢奮,不像人類所應體會到的存在。最優越的試金石,可以在數學中找到,當然詩中也可以找到。」 ───二十世紀英國著名的哲學家兼數學家羅素
據說在數學中最令羅素欣喜的是事情能夠被證明,有一次他想要證明1+1=2,就寫下了下面(如圖)看請來亂七八糟的證明
本圖翻拍自『數學小精靈』時報出版
一個眾人皆知的事情:1+1=2
一個大數學家還想證明它!難道他瘋了嗎?
其實從這裡我們可以看出一個數學家嚴謹的態度──
一個眾所公認的真理,必須經過邏輯(證明)的嚴格考驗
以集合論的方法:
你必須定義出你的數係出來:
{ }:代表空集合。
#A:代表A集合中,元素的個數,例如A={1,2}, #A=2,有兩個元素。
p(A):代表蒐集所有A的子集所成的集合。,例如P(A)={{},A,{1},{2}},有四個子集,所成的集合。
回顧,正整數,也就是所謂的自然數,來自於可以數、累加的觀念。
以概略的說明的方式,明確的定義方式,請查書。
以下是造出正整數數係的方式:
A={ }:代表1,在數論中有明確定義,但是我忘記正確的名稱。
令B={A }, p(B)={{},B}:代表為2,為1的後繼元素。
令C={p(B)},p(C)={{},C}={{},{{{},B}}}:代表3,為2的後繼元素。
同理,可以造出任意正整數N,
抱歉,詳細的請翻書吧,太久記不住所有內容,
因為正整數數系,不是一個代數群,所以沒法用代數的封閉性及加減法證明,
缺少邏輯的嚴謹性,不能記下所有內容,請各位見諒。