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不是我變笨了──談建構數學
◎凌拂 (2003.03.01)
你怎樣到陽明山去先給你一個題目:「怎樣到陽明山去」。出發。
參加郊遊的好朋友請照著心情走喔:
( )搭乘大眾交通工具,捷運還有公車
( )背著背包,沿途走路、唱歌
( )結夥一起坐TAXI
( )乘著歌聲的翅膀
( )自己開車
向哪裡轉呢?
( )前山仰德大道
( )後山菁山小路
( )北投溫泉區
( )天母行義路底
( )喔!循著一隻鳥飛去的方向 沿途路況。
( )順著花開熱鬧的地方
( )商店盡頭的圓環向左
( )沒落的遊樂區是個路標
( )五棵樹型驚人的巨榕
( )嗄!禁止通行,施工的道路請從頭再走
你現在到達了哪裡?
( )陽明山花鐘廣場
( )二隻獨角仙打架的地方
( )看到硫磺在冒煙的山頭
( )噫!花瓣雨落下來了
( )M麥當勞靠窗喝可樂的三F
快到目的地集合。
十二點準時到陽明山前山公園入口。
( )早就抵達,一個人也沒看到
( )再過三分鐘就到了
( )沒問題,十二點準時到達
( )會晚十分鐘才能抵達
( )可是我發現了一個很棒的地方,它不在陽明山上
數學又不是作文,這條路要怎麼走?
我給你過程,讓你思考,讓你選擇,但是你要選擇正確的路徑和方向。不可越出黃線,中途轉彎、滯留;我要的是你仔細觀察,準確表達。要記得避免走錯路,做錯選擇,最後我要的目的才是最重要的。
哦,原來這樣,那早說嘛。如果只要目的,從出發到結果直達就好,我知道有一條最近的路。
我給你過程,讓你思考
數學又不是作文。好,那麼再給你一個題目。
一盒彩色筆售價是多少個十元時,買6盒彩色筆要付84個十元?
說說看,你怎麼知道的?
把你的做法用算式記下來。
看著紀錄說說看,你是怎麼做的?
這是四上的數學題,按照以前舊教材教法,是直接告訴你( )6=84,以某數代入,等號左邊的數字移到右邊,乘號就要變成除號,但是為什麼等號兩邊的數字一動,乘除或者加減就要跟著改變?沒人會告訴你,所以也沒人會問。
學數學做什麼?
學數學做什麼?除了基礎數學可以用來算計審度日常生活之外,平常看不出更深的數學思維與嚴密的邏輯推理應用在哪裡?舊教材教法省略思考推理過程,在台灣一生根幾十年,我們都是這樣被教大的,不知道是不是天才不敢走的路,傻子一步就跨過去了。可是這麼多年的舊教材,誰又是天才?誰又是傻子呢?這無關乎對錯,但我們需要靜定深思。
請看下面這一段紀錄。請耐心點仔細看,這是新教材呈現的思考推理過程,並特別註明:「看著紀錄說說看,你是怎麼做的?」
10╳2=20
10╳3=30
10╳4=40
10╳5=50
10╳6=60
11╳2=22
11╳3=33
11╳4=44
11╳5=55
11╳6=66
12╳2=24
12╳3=36
12╳4=48
12╳5=60
12╳6=
13╳2=26
13╳3=
…
…
13╳6=
14╳2=
…
…
14╳6=
你會說嗎?
一盒是10個10元,二盒就是20個10元,三盒就是30個10元……,以此類推:
一盒是11個10元,二盒就是22個10元……
一盒是12個10元,二盒就是24個……六盒就是72個10元
一盒是13個10元,二盒……
一盒是14個10元……六盒就是84個10元。
到此為止,你的紀錄裡有14,是14個什麼?
當然你也可以簡化成下面的推理方式:
10╳2=20
10╳4=40
10╳6=60
12╳2=24
12╳4=48
12╳6=72
14╳2=28
14╳
…
…
而後( )╳6=84
以倍數導引出除數的觀念,而後你才會知道為什麼等號左邊的數字移到右邊,乘號就要變成除號。
在建構數學裡,讓孩子依據自己的判斷,推理、思考找答案,當然有很多條不同的路徑,「請把你的想法寫出來」,自己怎麼想,這個自我思考的過程很重要。
因此,從這裡看,就談到了一個關鍵,建構數學是需要時間的。表達一個想法,用來討論過程,每條路都可以走,請走走看,找出一條清楚又容易的路。在這樣的過程中教師需要花大量的時間等待,並且與孩子對談,教師事前要完全熟悉課程,厚厚的二巨冊教學手冊,備課的時間加長,否則自己也會迷失在過程裡。
再來看,這樣的建構,教的不只是數學,它建立在生活情境上,口述語言變長,年級漸高,題目也多了很多曲折的敘述。無論教改怎麼改,將來考不考作文,語文程度都一定要好,基本上它關乎嚴密的邏輯思惟。
與舊教材不同的是,在舊教材裡,直接呈現公式。學一個梯形面積,大家一律背(上底+下底)高2就好,至於為什麼這樣?不必知道,沒有人教,也沒有人問。到陽明山只要把人推上車,從密封的車箱裡再下來,腳下踩的是陽明山就好。
但是新課程不是這樣把公式提列在前,新教材裡從頭到尾不說公式,可是在整個思考過程中系統公式完善,所有的過程都在為後來的整合做準備。每一個題式推衍的過程如此,包括這一套建構體系,從開始實行建構數學的一年級開始,先前的每一個過程、步驟,都在為未來更複雜的抽象推理做準備。舊教材告訴你照這樣做就好了,所以只要背半徑半徑3.14=圓面積;新教材希望你發現為什麼要這樣做,知其然,也知其所以然。
推衍是一個過程,透過這個過程,在思考中去找尋和選擇理路的邏輯,不再直接呈現歸納好的公式,得自己刪減,從許多可能的情境中找出有用的東西,在號稱資訊垃圾充斥的時代,這是一種學習,不是嗎?
指月亮的手不是目的,當過程熟練,思考通了,這個最後的結果和直接把人帶到陽明山上是不一樣的,雖然這樣省時些,也省力些。