[問題]如何証阿??

[問題]如何証阿??

阿風 於 星期三 九月 29, 2004 3:25 pm


1. 試証對任意t屬於整數而言,(a,b)=(a,b+at)
2. 假如 (a,c)=1 且(b,c)=1 ,試証 (ab,c)=1
3. 對任意n而言,存在 (n+1,n平方-n+1) = 1 或 3

阿風
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Re: [問題]如何証阿??

bin 於 星期五 十月 29, 2004 3:15 pm


阿風 寫到:1. 試証對任意t屬於整數而言,(a,b)=(a,b+at)

令(a,b)=u, (a,b+at)=v
因為(a,b)=u 所以 u|a 且 u|b
可得 u|a 且 u|b+at
所以 u|(a,b+at)=v

同理,反之亦然,可得 v|u

於是v=u

bin
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Re: [問題]如何証阿??

bin 於 星期五 十月 29, 2004 4:13 pm


阿風 寫到:
2. 假如 (a,c)=1 且(b,c)=1 ,試証 (ab,c)=1

假設(ab,c)不等於1
存在 k|(ab,c),且k為大於1的質數
得 k|ab 及 k|c
因為k是質數,所以 k|a或k|b 及k|c
於是k|(a,c)或k|(b,c),得矛盾(因為k>1)
所以 (ab,c)=1

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Re: [問題]如何証阿??

bin 於 星期五 十月 29, 2004 4:19 pm


阿風 寫到:
3. 對任意n而言,存在 (n+1,n平方-n+1) = 1 或 3

假設d=(n+1,n^2-n+1)
於是d|n+1          (1)
      d|n^2-n+1   (2)
由(1)可得d|(n+1)(n-2)=n^2-n-2  (3)
由(2)-(3)
可得d|3於是d=1或3

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