由 benice 於 星期四 十一月 23, 2017 11:12 am
第 (1) 題:
以下證明 10^2002 + 1 為 101 的倍數。
10^2002 + 1
= 100^1001 - 100 + 101
= 100(100^1000 - 1) + 101
= 100(100^500 + 1)(100^250 + 1)(100^125 + 1)(100^125 - 1) + 101
100^125 + 1
= 100^125 - 100 + 101
= 100(100^124 - 1) + 101
= 100(100^62 + 1)(100^31 + 1)(100^31 - 1) + 101
100^31 + 1
= 100^31 - 100 + 101
= 100(100^30 - 1) + 101
= 100(100^15 + 1)(100^15 - 1) + 101
100^15 + 1
= 100^15 - 100 + 101
= 100(100^14 - 1) + 101
= 100(100^7 + 1)(100^7 - 1) + 101
100^7 + 1
= 100^7 - 100 + 101
= 100(100^6 - 1)+ 101
= 100(100^3 + 1)(100^3 - 1) + 101
100^3 + 1
= (100 + 1)(100^2 - 100 + 1) ...... 公式:a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
= 101(100^2 - 100 + 1)
所以,100^3 + 1 為 101 的倍數。
由下往上依序可知 100^7 + 1, 100^15 + 1, 100^31 + 1, 100^125 + 1
及 10^2002 + 1 皆為 101 的倍數。
因此,10^2002 + 1 不是質數。