不等式 1:
(方法一) 使用微分方法:考慮函數 ex - 1 - x。
(方法二) 使用均值定理:對函數 ex 在 [0,x] 或 [x,0] 上套用均值定理。
(方法三) 使用極限與 Bernoulli 不等式:
由 Bernoulli 不等式 (http://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli's_inequality),
對任意偶數 n ≧ 0 與任意實數 x,(1 + x/n)n ≧ 1 + n(x/n) = 1 + x。
所以,對任意實數 x
ex = lim (1 + x/n)n ≧ 1 + x。 ■
n→∞
不等式 2 有誤,參考下圖: