(1)2^n-1不是完全平方數
若2^n-1是完全平方數,其必為某奇數的平方
又奇數的平方用4除必餘1(因為(2k+1)^2=4k^2+4k+1)
但2^n是4的倍數(n>1),2^n-1用4除餘3
所以2^n-1不是完全平方數
(2)2^n-1不是完全立方數
設2^n-1是完全立方數
2^n-1=k^3
2^n=k^3+1=(k+1)(k^2-k+1)
所以k+1和k^2-k+1皆為2的倍數
k(k+1)-(k^2-k+1)為2的倍數
但k(k+1)-(k^2-k+1)=2k-1不為2的倍數,矛盾
因此,2^n-1不是完全立方數