H在BC上,使AH垂直BC。設AH=h。
AH⊥BC (已知)
∴AB
2-AH
2=HB
2 (畢氏定理)
∴c
2-h
2=HB
2
∴HB=√(c
2-h
2)
∴AC
2-AH
2=HC
2 (畢氏定理)
∴b
2-h
2=HC
2
∴HC=√(b
2-h
2)
∵BC=BH+HC
∴a=√(c
2-h
2)+√(b
2-h
2)
h=±(1/2a)√[2a
2(b
2+c
2)-(b
2-c
2)
2-a
4]
∵h>0
∴h=(1/2a)√[2a
2(b
2+c
2)-(b
2-c
2)
2-a
4]
△ABC面積
=(1/2)(BC)(AH)
=(1/2)ah
=(1/4)√[2a
2(b
2+c
2)-(b
2-c
2)
2-a
4]
=(1/4)√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]
=√(1/16)[(a+b+c)(a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)]
=√{[(1/2)(a+b+c)][(1/2)(a+b+c-2a)][(1/2)(a+b+c-2b)][(1/2)(a+b+c-2c)]}
=√{[(1/2)(a+b+c)][(1/2)(a+b+c)-a][(1/2)(a+b+c)-b][(1/2)(a+b+c)-c]}
=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]