泰勒展開 T(n+1)=T(n)+T'(n)+T"(n)/2!+T'"(n)/3!+....
DT= T(n+1)- T(n) =T'(n)+T"(n)/2!+T'"(n)/3!+....
+ / -檢視主題
由 --- 於 星期二 五月 06, 2003 6:34 pm
由 scsnake 於 星期二 五月 06, 2003 6:31 pm
那第二行Dy=y'+y"/2+... 是？
由 --- 於 星期二 五月 06, 2003 6:31 pm
Q: T(1)=5 並 T(n+1)=T(n)+1/T(n) for n>1. 請找出最接近T(1998)的整數
T(n+1)-T(n)=1/T(n)
T(n+1)-T(n)=1/T(n)
泰勒展開 T(n+1)=T(n)+T'(n)+T"(n)/2!+T'"(n)/3!+....
***差分轉微分!***
(1) 一階近似:
取T(n+1)~T(n)+T'(n)
T(n+1)-T(n)=1/T(n) ~ T'(n)
dT/dn ~ 1/T
(2) 2 階近似:
取T(n+1)~T(n)+T'(n)+T"(n)/2
T(n+1)-T(n)=1/T(n) ~ T'(n)+T(n)"/2
T(n+1)-T(n)=1/T(n)
T(n+1)-T(n)=1/T(n)
泰勒展開 T(n+1)=T(n)+T'(n)+T"(n)/2!+T'"(n)/3!+....
***差分轉微分!***
(1) 一階近似:
取T(n+1)~T(n)+T'(n)
T(n+1)-T(n)=1/T(n) ~ T'(n)
dT/dn ~ 1/T
(2) 2 階近似:
取T(n+1)~T(n)+T'(n)+T"(n)/2
T(n+1)-T(n)=1/T(n) ~ T'(n)+T(n)"/2
由 --- 於 星期二 五月 06, 2003 6:27 pm
Dy=y(x+1)-y(x)
由 scsnake 於 星期二 五月 06, 2003 6:26 pm
Meowth，你在「估計數值」這方面很厲害耶∼
不過，還是看不太懂你的算式，像是第一行的y，Dy是什麼？
不過，還是看不太懂你的算式，像是第一行的y，Dy是什麼？
由 --- 於 星期二 五月 06, 2003 6:09 pm
Generally speaking, the exact value will be between the 1st- and the 2nd-estimation.
由 --- 於 星期二 五月 06, 2003 6:07 pm
2nd-order estimation:
1/y=y'+y"/2
dx=ydy+ ydy'/2
x+c=yy/2+$ ydy'/2
y~ sqrt(2x+2c)
y'~ 1/sqrt(2x+2c)=1/y
so, $ ydy'/2~lny/2'~ -ln(2x+2c)/4
x+c~yy/2-ln(2x+2c)/4
y~sqrt(2x+2c+ln(2x+2c)/2)
y1=5.2~sqrt(2+2c+ln(2+2c)/2)
c=11.71109441
y ~ sqrt(2x+23.42218882+ln(2x+23.42218882)/2)
y1998~ 63.43162961
1/y=y'+y"/2
dx=ydy+ ydy'/2
x+c=yy/2+$ ydy'/2
y~ sqrt(2x+2c)
y'~ 1/sqrt(2x+2c)=1/y
so, $ ydy'/2~lny/2'~ -ln(2x+2c)/4
x+c~yy/2-ln(2x+2c)/4
y~sqrt(2x+2c+ln(2x+2c)/2)
y1=5.2~sqrt(2+2c+ln(2+2c)/2)
c=11.71109441
y ~ sqrt(2x+23.42218882+ln(2x+23.42218882)/2)
y1998~ 63.43162961
由 --- 於 星期二 五月 06, 2003 5:54 pm
from the view of differential equation:
Dy=1/y
Dy=y'+y"/2+...
1st-order estimation:
1/y ~ dy/dx
ydy ~ dx
x+c~ yy/2
y~ sqrt(2x+c)
y0=5~sqrt(c)
c~25
y~sqrt(2x+25)
y1998~ sqrt(2*1998+25)~63.41135545
==>
round(y1998)=63
Dy=1/y
Dy=y'+y"/2+...
1st-order estimation:
1/y ~ dy/dx
ydy ~ dx
x+c~ yy/2
y~ sqrt(2x+c)
y0=5~sqrt(c)
c~25
y~sqrt(2x+25)
y1998~ sqrt(2*1998+25)~63.41135545
==>
round(y1998)=63
由 Raceleader 於 星期一 五月 05, 2003 6:23 pm
由 scsnake 於 星期一 五月 05, 2003 6:22 pm
數學狂：「難怪那麼難∼」
Mathematica：「不會啊，0.08秒就算出x1998=63.431464035857736」
數學狂：「@@」
Mathematica：「不會啊，0.08秒就算出x1998=63.431464035857736」
數學狂：「@@」
由 Raceleader 於 星期一 五月 05, 2003 6:15 pm
This is IMO HK Prelim 1998/99
[問題]1
由 ming 於 星期一 五月 05, 2003 5:27 pm
Let x0=5,xn+1=xn+1/xn for n=1,2,3...find the integer closest to x1998