benice 寫到:解:
設此等差數列之首項為 a,公差為 d,則
由等差級數的公式得:
n[2a + (n-1)d]/2 = m ...... (1)
m[2a + (m-1)d]/2 = n ...... (2)
因為
(1) ==> 2a = 2m/n - (n-1)d ...... (*)
(2) ==> 2a = 2n/m - (m-1)d
所以
2m/n - (n-1)d = 2n/m - (m-1)d
(m-1)d - (n-1)d = 2n/m - 2m/n
(m-n)d = 2(n² - m²)/(mn)
(m-n)d = 2(n-m)(n+m)/(mn) ...... ∵ m≠n,∴ 此式可同除 m-n
d = -2(n+m)/(mn) ...... (3)
前 m+n 項和
= (m+n)[2a + (m+n-1)d]/2
= m[2a + (m+n-1)d]/2 + n[2a + (m+n-1)d]/2
= m[2a + (m-1)d]/2 + m[nd]/2 + n[2a + (n-1)d]/2 + n[md]/2
= n + mnd/2 + m + mnd/2 ...... By (1) & (2)
= m + n + mnd
= m + n + mn[-2(n+m)/(mn)] ...... By (3)
= m + n - 2(n+m)
= -(m+n) ■
驗證:
由於 (1), (2) 同時成立時並無法保證 m, n 皆為正整數,
所以我們需要驗證滿足題意的 m, n 值與數列確實存在。
將 (3) 代入 (*),得
2a = 2m/n - (n-1)[-2(n+m)/(mn)]
a = m/n + (n-1)(n+m)/(mn) ...... (4)
將 n=1, m=2 代入 (4) 與 (3),得 a = 2,d = -3,
所以數列為 2, -1, -4, -7, -10, .....。
此數列的前 1 項和為 2,前 2 項和為 2 + (-1) = 1,
故滿足題意的 m, n 值與數列確實存在。 ■
不是都已經算出 a 與 d 了嗎? 為什麽還擔心數列不存在?指定任意一組(m,n), 就會有對應的a與d了啊!
其實這題還有捷徑:
n = m[2a+(m-1)d]/2 = ma + m(m-1)d/2
m = n[2a +(n-1)d]/2 = na + m(n-1)d/2
所以 n-m = (m-n)a + [(m
2-n
2) -(m-n)]d/2
因為 n ≠ m, 所以 -1 = a +(m+n-1)d/2
而前m+n項的和 = (m+n)a + (m+n) (m+n-1)d/2 = (m+n)(-1) = -(m+n)