由 p 於 星期六 五月 06, 2006 8:32 pm
先做2題
2.x^2/a^2+y^2/b^2=1
y=b/a √(a^2- x^2)
面積=2∫y dx ,at(-a, a)
∫b/a √(a^2- x^2)dx ,at(-a, a)= b/a∫√(a^2- x^2)dx ,at(-a, a)
此為典型積分
= b/a a^2[1/2*arcsin(x/a)+1/2*x/a^2*√(a^2- x^2)] ,at(-a, a)
= ab/2[arcsin(x/a)+x/a^2*√(a^2- x^2)] ,at(-a, a)
= abπ/2
面積= abπ
6.y=9-x^2 ,at(0, 3)
以y軸旋轉之表面積=2π∫x√(1+f'^2 (x) dx at(0, 3)
=2π∫x√(1+4x^2) dx=4π∫x√(1/4+x^2) dx
取x=1/2tanu , (1/4+x^2)=1/4 sec^2u
u=arctan(2x)
∫x√(1+4x^2) dx=∫1/2tanu*1/2 secu*1/2 sec^2u du
=1/8∫(tanu*sec^3u) du
=1/8∫(sinu/cos^4u) du
=-1/8∫1/cos^4u dcosu
=3/8*1/cos^3u
u=arctan(2x) ,x at(0, 3) ,u at(0, arctan6) ,cosu at(1,1/√37)
旋轉之表面積=3/2*π*(37√37-1)