整除的概念
定義 如果整數ａ除以非零自然數ｂ，商是整數且餘數為0，則稱ａ能被ｂ整除，或ｂ能整除ａ，記作ｂ｜ａ，其中ａ叫做ｂ的倍數，ｂ叫做ａ的約數。
注意：（1）零是任何自然數的倍數；
（補充：自然數即正整數,當然不包括0 ∼J+W）
（2）1是任何自然數的約數；
（3）關於整除，有多種不同的表述方式，但意思都一樣。如：ａ被ｂ整除，
ｂ整除ａ，ａ是ｂ的倍數，ｂ是ａ的約數，ａ除以ｂ的商是整數且沒有餘數（或餘數為0）等。
2. 數的整除性質
（1）如果數ａ能被數ｃ整除，數ｂ也能被數ｃ整除，那麼它們的和（ａ＋ｂ）或差（ａ－ｂ）也能被ｃ整除，即ｃ｜ａ， ｃ｜ｂ，則 ｃ｜（ａ±ｂ）。
（2）幾個數相乘，如果其中有一個因數能被某一個數整除，則這幾個數的積也能被這個數整除。
（3）數ａ能被數ｂ整除，數ａ能被數ｃ整除，如果ｂ、ｃ互質，那麼數ａ能被ｂ與ｃ的積整除。
3. 數的整除特徵
（1）一個數的個位上是0、2、4、6、8中的某個數，這個整數能被2整除。
（2）一個整數各數位上數字的和能被3或9整除，那麼這個整數也能被3或9整除。
（3）一個整數的末兩位數能被4或25整除，那麼這個數能被4或25整除。
（4）一個整數的末三位數能被8（或125）整除，那麼這個數就能被8（或125）整除。
（5）一個整數既能被2整除，又能被3整除，則這個數能被6整除；反之，一個整數能被6整除，這個數就一定能被6的約數（1、2、3、6）整除。
（6）能被11整除的數的特徵：一個整數的奇數位（指個位、百位、萬位…）上的數字之和與偶數位（指十位、千位、十萬位…）上的數字之和的差（用較大數減較小數）是11的倍數，那麼這個數就是11的倍數。
（7）能被7（11或13）整除的數的特徵：一個整數的末三位數與末三位以前的數字所組成的數之差（以大減小）能被7（11或13）整除，那麼這個數能被7（11或13）整除。
數的整除概念、性質及特徵為解決一些整除問題帶來很大方便，在實際問題中應用廣泛。
內容取材自上海華東師範大學出版社《奧數教程》，現代教育研究社及華東師範大學出版社聯合出版。
