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Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期日七月 27, 2003 10:17 am

三角形ABC中，bc=a，CA=b，AB=c。若s=(1/2)(a+b+c)，證明△ABC面積=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]。

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

索洛西 · 由 **索洛西** 於星期日七月 27, 2003 10:38 am

△ABC面積²=1/4b²c²sin²A
=1/4b²c²(1-cos²A)
=1/4b²c²(1+cosA)(1-cosA)
=1/4b²c²{1+[(b²+c²-a²)/2bc]}{[1-[(b²+c²-a²)/2bc]}
=1/16b²c²[(2bc-b²-c²+a²)/bc][(2bc+b²+c²-a²)/bc]
=1/16[a²-(b-c)²][(b+c)²-a²]
=1/16(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)(b+c-a)
=s(s-a)(s-b)(s-c)

所以△ABC面積=根號s(s-a)(s-b)(s-c)

Steven · 由 **Steven** 於星期日七月 27, 2003 10:44 am

也有人說是海龍公式

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期日七月 27, 2003 10:44 am

H在BC上，使AH垂直BC。設AH=h。

AH⊥BC (已知)
∴AB²-AH²=HB² (畢氏定理)
∴c²-h²=HB²
∴HB=√(c²-h²)

∴AC²-AH²=HC² (畢氏定理)
∴b²-h²=HC²
∴HC=√(b²-h²)

∵BC=BH+HC
∴a=√(c²-h²)+√(b²-h²)
h=±(1/2a)√[2a²(b²+c²)-(b²-c²)²-a⁴]
∵h＞0
∴h=(1/2a)√[2a²(b²+c²)-(b²-c²)²-a⁴]

△ABC面積
=(1/2)(BC)(AH)
=(1/2)ah
=(1/4)√[2a²(b²+c²)-(b²-c²)²-a⁴]
=(1/4)√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]
=√(1/16)[(a+b+c)(a+b+c-2a)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)]
=√{[(1/2)(a+b+c)][(1/2)(a+b+c-2a)][(1/2)(a+b+c-2b)][(1/2)(a+b+c-2c)]}
=√{[(1/2)(a+b+c)][(1/2)(a+b+c)-a][(1/2)(a+b+c)-b][(1/2)(a+b+c)-c]}
=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]

Raceleader · 由 **Raceleader** 於星期日七月 27, 2003 10:46 am

索洛西的方法用了三角函數了

Steven: 海倫及海龍只是譯音不同而已

kevin · 由 **kevin** 於星期日七月 27, 2003 11:26 am

三角函數課程失敗~"~
所以還是只會畢氏定理~^^
很好用

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[數學]海倫公式 (Heron's Formula)

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