[分享]韓 信 點 兵

[分享]韓 信 點 兵

jacky 於 星期日 十二月 29, 2002 11:33 pm


韓 信 點 兵
    我國漢代有一位大將,名叫韓信。他每次集合部隊,都要求部下報三次數,第一次按1∼3報數,第二次按1∼5報數,第三次按1∼7報數,每次報數後都要求最後一個人報告他報的數是幾,這樣韓信就知道一共到了多少人。他的這種巧妙演算法,人們稱為“鬼穀算”、 “隔牆算”、“秦王暗點兵”等。
    這種問題在《孫子算經》中也有記載:“今有物不知其數:三三數之餘二,五五數之餘三,七七數之餘二,問物幾何?” 它的意思就是,有一些物品,如果3個3個的數,最後剩2個;如果5個5個的數,最後剩3個;如果7個7個的數,最後剩2個;求這些物品一共有多少?這個問題人們通常把它叫作“孫子問題”, 西方數學家把它稱為“中國剩餘定理”。到現在,這個問題已成為世界數學史上聞名的問題。
    到了明代,數學家程大位元把這個問題的演算法編成了四句歌訣:
    三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝;
    七子團圓正半月,除百零五便得知。
    用現在的話來說就是:一個數用3除,除得的餘數乘70;用5除,除得的餘數乘21;用7除,除得的餘數乘15。最後把這些乘積加起來再減去105的倍數,就知道這個數是多少。
    《孫子算經》中這個問題的演算法是:
    70×2+21×3+15×2=233
    233-105-105=23
    所以這些物品最少有23個。
    根據上面的演算法,韓信點兵時,必須先知道部隊的大約人數,否則他也是無法準確算出人數的。你知道這是怎麼回事嗎?
    這是因為,
    被5、7整除,而被3除餘1的最小正整數是70。
    被3、7整除,而被5除餘1的最小正整數是21;
    被3、5整除,而被7除餘1的最小正整數是15;
    所以,這三個數的和15×2+21×3+70×2,必然具有被3除餘2,被5除餘3,被7除餘2的性質。
    以上解法的道理在於:
    被3、5整除,而被7除餘1的最小正整數是15;
    被3、7整除,而被5除餘1的最小正整數是21;
    被5、7整除,而被3除餘1的最小正整數是70。
    因此,被3、5整除,而被7除餘2的最小正整數是 15×2=30;
    被3、7整除,而被5除餘3的最小正整數是 21×3=63;
    被5、7整除,而被3除餘2的最小正整數是 70×2=140。
    於是和數15×2+21×3+70×2,必具有被3除餘2,被5除餘3,被7除餘2的性質。但所得結果233(30+63+140=233)不一定是滿足上述性質的最小正整數,故從它中減去3、5、7的最小公倍數105的若干倍,直至差小於105為止,即 233-1O5-105=23。所以23就是被3除餘2,被5除餘3,被7除餘2的最小正整數。
    我國古算書中給出的上述四句歌訣,實際上是特殊情況下給出了一次同余式組解的定理。在1247年,秦九韶著《數書九章》,首創“大衍求一術”,給出了一次同餘式組的一般求解方法。在歐洲,直到18世紀,歐拉、拉格朗日(Lagrange,1736∼1813,法國數學家)等,都曾對一次同餘式問題進行過研究;德國數學家高斯,在1801年出版的《算術探究》中,才明確地寫出了一次同餘式組的求解定理。當《孫子算經》中的“物不知數”問題解法於1852年經英國傳教士偉烈亞力(Wylie Alexander,1815∼1887)傳到歐洲後,1874年德國人馬提生(Matthiessen,1830∼1906)指出孫子的解法符合高斯的求解定理。從而在西方數學著作中就將一次同餘式組的求解定理稱譽為“中國剩餘定理”。

jacky
訪客
 

墨炎 於 星期日 十二月 29, 2002 11:37 pm


由此可知在線上ㄉ一定是你本人
不過也可以知道我國數學起源早於外國

墨炎

 
文章: 1350
註冊時間: 2002-12-26
來自: ☆時空洪流★




數學挑戰題