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ABC是一三角形，∠CAB=100°，∠ABC=40°，E是AC上一點，使∠ABE=∠CBE。證明BC=AE+BE。

[hide:a49ebe4aea]如圖，作BDE~BAE，EF=ED
→EFD=EDF=80→FEC=40=FCE
→BEF=80=BFE
→BC=BF+FC=BE+FE=BE+AE
[/hide:a49ebe4aea]

F在BC上，使BF=BE。連EF。

∠CAB=100° (已知)
∠ABC=40° (已知)
∠ABE=∠CBE (已知)
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC/2=40°/2=20°
BF=BE (已知)
∴∠BEF=∠BFE (等腰三角形底角)
∠BEF+∠BFE=180°-∠EBF (三角形內角和)
∴2∠BEF=180°-20°=160°
∴∠BEF=∠BFE=80°
∴∠BAE+∠BFE=100°+80°=180°
∴A、B、F、E共圓 (對角互補)

弧AE:弧EF=∠ABE:∠FBE=1:1 (弧長與圓周角成比例)
∴弧AE=弧EF
∴AE=EF (等弧對等弦)
∠ECF=180°-∠CAB-∠ABC (三角形內角和)
∴∠ECF=180°-100°-40°=40°
∠CEF=∠EFB-∠ECF (三角形外角)
∴∠CEF=80°-40°=40°
∴FE=FC (等角對邊相等)
∴AE=FC

BC=BF+FC
∴BC=AE+BE