在△ABC中,∠ABC=∠ACB,點P、Q分別在AC和AB上,使得AP=PQ=QB=BC,試求∠BAC的度數。
點R在AC上,使QB=QR,連QR和BR。設∠BAC=2a。
QR=QB (已知)
∴AP=PQ=QB=QR=BC
∠ABC=∠ACB (已知)
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°-2a (三角形內角和)
∴∠ABC=∠ACB=90°-a
∵PA=PQ (已知)
∴∠PQA=∠PAQ=2a (等腰三角形底角)
∴∠QPR=∠PQA+∠PAQ=2a+2a=4a (三角形外角)
∵QP=QR (已證)
∴∠QRP=∠QPR=4a (等腰三角形底角)
∴∠PQR=180°-∠QRP-∠QPR (三角形內角和)
∴∠PQR=180°-4a-4a=180°-8a
∴∠BQR=180°-∠PQA-∠PQR (直線上的鄰角)
∴∠BQR=180°-2a-(180°-8a)=6a
∵QR=QB (已知)
∴∠QBR=∠QRB (等腰三角形底角)
∠QBR+∠QRB=180°-∠BQR=180°-6a (三角形內角和)
∴∠QBR=∠QRB=90°-3a
∠BRC=180°-∠QRP-∠QRB (直線上的鄰角)
∴∠BRC=180°-4a-(90°-3a)=90°-a
∴∠BRC=∠BCR=90°-a
∴BR=BC (等角對邊相等)
∵QB=BC (已知)
∴BR=QR=QB
∴△QBR是一等邊三角形
∴∠BQR=6a=60° (等邊三角形性質)
∴2a=20°
∴∠BAC=20°