NO.19
很難...
某人選了兩個正整數m和n。對於正整數k，若存在一個邊長為log m, log n 及log k 的三角形，他便稱k為「好數」。他發現剛好有100個「好數」。求mn的最大可能值。
[問題]IMO HK PRELIM 2003
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[數學]嗯...
由 Searchtruth 於 星期日 六月 01, 2003 8:36 pm
想ㄌ好久...
不過好像有些漏洞...麻煩各位大大幫我檢查一下^^"
可令m>=n , 設 m=an+b , aEN , ,0=<b<n
由三角形的"任兩邊和必大於大三邊"和"任兩邊差必小於第三邊"
=>log m - log n < log k < log m + log n
=>log(m/n) < log k < log(mn)
=>m/n < k <mn
=>(a+b/n) < k < mn
=>(a+1) =< k =< (mn-1)
而k值恰有100種
=>(mn-1)-(a+1)+1=100
=>mn=101+a
=>若要求mn的max,即求a的max~
=>an2+bn=101+a
=>a=(101-bn)/(n2-1)
因為aEN
=>n2-1=<101
=>n=<10.~
=>0=<n=<10
在a=(101-bn)/(n2-1)中~
可以推出n,b越小~a值可以越大~所以我們從小的先代入~
when n=1
=>a無解
when n=2
(i)b=0
=>a=101/3,不是自然數...無解
(ii)b=1
=>a=(101-2)/3=33
=>所求mn之max=101+33=134
不過好像有些漏洞...麻煩各位大大幫我檢查一下^^"
可令m>=n , 設 m=an+b , aEN , ,0=<b<n
由三角形的"任兩邊和必大於大三邊"和"任兩邊差必小於第三邊"
=>log m - log n < log k < log m + log n
=>log(m/n) < log k < log(mn)
=>m/n < k <mn
=>(a+b/n) < k < mn
=>(a+1) =< k =< (mn-1)
而k值恰有100種
=>(mn-1)-(a+1)+1=100
=>mn=101+a
=>若要求mn的max,即求a的max~
=>an2+bn=101+a
=>a=(101-bn)/(n2-1)
因為aEN
=>n2-1=<101
=>n=<10.~
=>0=<n=<10
在a=(101-bn)/(n2-1)中~
可以推出n,b越小~a值可以越大~所以我們從小的先代入~
when n=1
=>a無解
when n=2
(i)b=0
=>a=101/3,不是自然數...無解
(ii)b=1
=>a=(101-2)/3=33
=>所求mn之max=101+33=134
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Searchtruth - 訪客
由 Searchtruth 於 星期日 六月 01, 2003 8:48 pm
嗯?!是ㄇ?那...我這樣算對ㄇ?
我剛剛一直在驗算...
還是覺得有些地方怪怪ㄉ...~"~
這一題我從昨天晚上..就有在思考ㄌ...
擱到今天...現在還在想...~"~...
我剛剛一直在驗算...
還是覺得有些地方怪怪ㄉ...~"~
這一題我從昨天晚上..就有在思考ㄌ...
擱到今天...現在還在想...~"~...
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Searchtruth - 訪客
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