[QUESTION]IMO HK PRELIM 2003

[QUESTION]IMO HK PRELIM 2003

---- 於 星期六 五月 31, 2003 3:56 pm


NO. 16
三角形ABC為銳角三角形,BC=5。E為AC上的一點,使得BE垂直AC;F為AB上的一點,使得AF=BF;而且BE=CF=4;求三角形ABC的面積

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訪客
 

scsnake 於 星期六 五月 31, 2003 6:57 pm


8√3??

scsnake
訪客
 

Raceleader 於 星期六 五月 31, 2003 7:04 pm


8√3-6

Raceleader
訪客
 

scsnake 於 星期六 五月 31, 2003 7:10 pm


you are right!

scsnake
訪客
 

Raceleader 於 星期六 五月 31, 2003 7:11 pm


yptsoi has Plane Geo method

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期六 五月 31, 2003 9:00 pm


設AF=FB=a,

AE=sqrt(AB^2-BE^2) (畢氏定理)
AE=sqrt(4a^2-16)
AE=2sqrt(a^2-4)

EC=sqrt(BC^2-BE^2)
EC=sqrt(5^2-4^2)
EC=3

由中線定理,
AC^2 * BF + BC^2 * AF = AB(FC^2 + AF*FB)
(2sqrt(a^2-4)+3)^2 + 5^2 = 2(4^2 + a^2)
4(a^2-4)+9+12sqrt(a^2-4) + 25 = 32 + 2a^2
4a^2-16+9+25+12sqrt(a^2-4)=32+2a^2
12sqrt(a^2-4)=14-2a^2
6sqrt(a^2-4)=7-a^2
36(a^2-4)=(7-a^2)^2
36a^2-144=49-14a^2+a^4
a^4-50a^2+193=0
由quadratic formula解得:
a^2 = 25 (+/-) 12sqrt3
注意6sqrt(a^2-4)=7-a^2>0
a^2<7
因25+12sqrt3 > 7 ,故reject之
a^2=25-12sqrt3
a^2-4=21-12sqrt3=(2sqrt3-3)^2
2sqrt(a^2-4)=2(2sqrt3-3)=4sqrt3-6

三角形面積
=AC*BE/2
=(2sqrt(a^2-4)+3)*4/2
=2(4sqrt3-6+3)
=8sqrt6-6

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訪客
 

---- 於 星期六 五月 31, 2003 9:00 pm


yptsoi's method

construct GA parallel BC, 延長EF交G, we know triGAFcongruent triBCF,
GC=8, GA=5.
延長CA, GKperpendicular AC, GK=4,
so the area of ABC=arear of KGC-area of KGA=4*(sqrt48)/2-3*4/2=8sqrt3-6.

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訪客
 

Raceleader 於 星期一 六月 02, 2003 8:13 am


左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

延長CG於一點G,使GA平行BC。延長CA於一點K,使GK垂直AK。連FG,GA,AK及GK。

∠BEC=90° (已知)
∴EC2=BC2-BE2 (畢氏定理)
∴EC2=52-42
EC=3

GA//BC (已知)
∴∠FGA=∠FCB (錯角,GA//BC)
∴∠GAF=∠CBF (錯角,GA//BC)
AF=BF (已知)
∴△FGA≡△FCB (AAS)
∴GA=CB=5 (全等三角形的對應邊)
∴GF=CF=4 (全等三角形的對應邊)

∠GKA=∠BEC=90° (已知)
∠KAG=∠ECB (同位角,GA//BC)
AG=CB (已證)
∴△GKA≡△BEC (AAS)
∴KA=EC=3 (全等三角形的對應邊)
∴GK=BE=4 (全等三角形的對應邊)

∠GKA=90° (已知)
∴KC2=GC2-GK2 (畢氏定理)
∴KC2=82-42
KC=√48
AC=KC-KA=√48-3

△ABC的面積=(1/2)(AC)(BE)=(1/2)(√48-3)(4)=8√3-6

Raceleader
訪客
 




平面&空間幾何