[QUESTION]IMO HK PRELIM 2003

[QUESTION]IMO HK PRELIM 2003

---- 於 星期六 五月 31, 2003 3:55 pm


NO. 16
三角形ABC為銳角三角形,BC=5。E為AC上的一點,使得BE垂直AC;F為AB上的一點,使得AF=BF;而且BE=CF=4。求三角形ABC的面積

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訪客
 

Raceleader 於 星期六 五月 31, 2003 4:03 pm


你想問甚麼

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期六 五月 31, 2003 4:09 pm


editted

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訪客
 

---- 於 星期六 五月 31, 2003 4:15 pm


What's the answer?

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訪客
 

---- 於 星期六 五月 31, 2003 4:25 pm


2-3 of my friends said the answer is 8. They've drawn the diagram in scale to see. My answer is same with you in my mind.

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訪客
 

Raceleader 於 星期六 五月 31, 2003 5:00 pm


My answer: 8√3-6

Raceleader
訪客
 

---- 於 星期六 五月 31, 2003 5:02 pm


Both I and kenny got 8sqrt3 -6

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訪客
 

Raceleader 於 星期六 五月 31, 2003 5:11 pm


I will post my coordinate+trigo method later

Raceleader
訪客
 

Raceleader 於 星期六 五月 31, 2003 5:30 pm


座標加三角方法:

因為BE=CF=4,BC=5,∠BEC=90°
根據題要,把已知座標的B(-5,0),C(0,0)及E(-1.8,2.4)標下

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

因為AF=FB,CF=4,我們不妨以C為圓心,半徑為4,畫一圓。
F必在圓周上,設F(4cosθ,4sinθ),cosθ<0,sinθ>0

利用中點公式,A(8cosθ+5,8sinθ)

AC的方程:4x+3y=0
代入A(8cosθ+5,8sinθ),得:

4(8cosθ+5)+3(8sinθ)=0
8cosθ+6sinθ=-5 ---(1)
cos2θ+sin2θ=1 ---(2)

解(1),(2):
cosθ=(-1/10)(4+3√3), sinθ=(1/10)(4√3-3)

所以以BC為底,△ABC高=8sinθ=(4/5)(4√3-3)
面積=(1/2)(5)(4/5)(4√3-3)=8√3-6

Raceleader
訪客
 

--- 於 星期六 五月 31, 2003 6:01 pm


Meowth have no money to pay you both. ^_______^

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訪客
 

--- 於 星期六 五月 31, 2003 6:02 pm


How about $60 for each?

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訪客
 

---- 於 星期六 五月 31, 2003 6:04 pm


no need
I use plane geom method, so raceleader has to pay me.I pay for you and he pays for me. So you don't have to give money... ㄏㄏㄏ

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訪客
 

Raceleader 於 星期六 五月 31, 2003 6:05 pm


I am thinking another plane geo method because too heavy algebra le :P

Raceleader
訪客
 




解析幾何及三角函數