編號001Level C
x,y,z是實數，滿足：
x+y+z=xx+yy+zz=xxx+yyy+zzz=3。
求所有的可能解(x,y,z)。
^____^~~I'm New,多多指教。
P.S.
Level：S>A>B>C>D
如果是"？"→表自己本身不會的。^^|||
[討論]數學小問題001。兩顆星...(已解答)
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由 Raceleader 於 星期三 十二月 25, 2002 9:20 am
小弟沒有說過Mathematica是解題的方法,只是作為參考而已
是有方法的
x+y+z=3 -------(1)
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
3=(3)^2-2(xy+yz+zx)
xy+yz+zx=3 ------------(2)
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy+yz+zx)+3xyz
3=(3)[(3)-(3)]+3xyz
xyz=1 --------------(3)
從(1),(2),(3),我們知道x,y,z是以下三次方程的根:
t^3-3t^2+3t-1=0
(t-1)(t-1)(t-1)=0
t=1 (重根)
因此,(x,y,z)=(1,1,1)是唯一解
是有方法的
x+y+z=3 -------(1)
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
3=(3)^2-2(xy+yz+zx)
xy+yz+zx=3 ------------(2)
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy+yz+zx)+3xyz
3=(3)[(3)-(3)]+3xyz
xyz=1 --------------(3)
從(1),(2),(3),我們知道x,y,z是以下三次方程的根:
t^3-3t^2+3t-1=0
(t-1)(t-1)(t-1)=0
t=1 (重根)
因此,(x,y,z)=(1,1,1)是唯一解
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Raceleader - 訪客
由 Raceleader 於 星期三 十二月 25, 2002 9:33 am
x+y+z=3 -------(1)
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
3=(3)^2-2(xy+yz+zx)
xy+yz+zx=3 ------------(2)
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
3=(3)[(3)-(3)]+3xyz
xyz=1 --------------(3)
從(1),(2),(3),我們知道x,y,z是以下三次方程的根:
t^3-3t^2+3t-1=0
(t-1)(t-1)(t-1)=0
t=1 (重根)
因此,(x,y,z)=(1,1,1)是唯一解
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
3=(3)^2-2(xy+yz+zx)
xy+yz+zx=3 ------------(2)
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz
3=(3)[(3)-(3)]+3xyz
xyz=1 --------------(3)
從(1),(2),(3),我們知道x,y,z是以下三次方程的根:
t^3-3t^2+3t-1=0
(t-1)(t-1)(t-1)=0
t=1 (重根)
因此,(x,y,z)=(1,1,1)是唯一解
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Raceleader - 訪客
由 Raceleader 於 星期三 十二月 25, 2002 11:06 am
如果依你所說
你想說x^2+y^2+z^2=3是一圓心為(0,0,0)半徑為sqrt(3)的球
而平面x+y+z=3剛好切x^2+y^2+z^2=3於(1,1,1)
|[(1)(0)+(1)(0)+(1)(0)-3]/sqrt(1^2+1^2+1^2)|=sqrt(3)
因此(0,0,0)跟x+y+z=3的距離為sqrt(3),剛好為x^2+y^2+z^2=3的半徑
因此x+y+z=3切x^2+y^2+z^2=3於一點,即是(1,1,1)
但你仍要把(1,1,1)代x^3+y^3+z^3=3來看看它是否有解
因此x^3+y^3+z^3=3仍是需要的
你想說x^2+y^2+z^2=3是一圓心為(0,0,0)半徑為sqrt(3)的球
而平面x+y+z=3剛好切x^2+y^2+z^2=3於(1,1,1)
|[(1)(0)+(1)(0)+(1)(0)-3]/sqrt(1^2+1^2+1^2)|=sqrt(3)
因此(0,0,0)跟x+y+z=3的距離為sqrt(3),剛好為x^2+y^2+z^2=3的半徑
因此x+y+z=3切x^2+y^2+z^2=3於一點,即是(1,1,1)
但你仍要把(1,1,1)代x^3+y^3+z^3=3來看看它是否有解
因此x^3+y^3+z^3=3仍是需要的
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Raceleader - 訪客
由 。Just Math 於 星期三 十二月 25, 2002 11:52 pm
Raceleader 寫到:這樣便有3個不同的方法了
嗯~大家都答的很有水準！^0^
Another Way
xx+yy+zz-2(x+y+z)+3=0
(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=0
所以，x=y=z=1，代入檢驗
xxx+yyy+zzz=1，符合。
故，(x,y,z)=(1,1,1)。。︿＿＿＿＿︿
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。Just Math - 訪客
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