[試題]2003年<<國中組決賽>>試卷

[試題]2003年<<國中組決賽>>試卷

Herbie 於 星期六 五月 24, 2003 12:04 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽<<國中組>>決賽試卷 ㄏㄏㄏ

1.試卷提供:Herbie(宏宏)

2.請確定這是你參賽的組別
3.請注意
在你按下"回覆文章"回覆本考題的同時
你將看到考題
這也就是你的開考時間
請確定你有一完整的150分鐘作答

4.請在150分鐘內
用"這篇文章需要收費100000Y幣 "的方式隱藏你的答案
超過時間請不要再修改你的答案
違者以0分計

5.等比賽宣佈結束
會公佈大家的答案和成績



6.請確定會用"這篇文章需要收費100000Y幣 "的方式隱藏你的答案

7.在你有任何疑問時
請不要按下"回覆文章"
否則後果自負




8.按下"回覆文章"計時150分開始
流星~~流星~~雖然倏的而逝,但是他發出的光芒可是閃閃耀人、令人驚嘆!

IChO要再2005年時在台灣舉行喔

我們台灣奧運加油!

Herbie

 
文章: 841
註冊時間: 2003-01-16
來自: 港都-打狗

[試題]祝好運

Herbie 於 星期六 五月 24, 2003 12:06 pm


2003年第一屆臺灣盃網路數學友誼賽國中組決賽試卷

                 暱稱:___________ 編號:____________

                           時間限制:150分鐘

終於來到了決賽囉,為避免舞弊和增加你的想像能力,所以下列題目全為計算

一、計算題,一題24分,共120分(請把你的想法跟算式寫出來,至少能有部
    分分數)

  【第一題】去年2002年是個「迴文數」,因它從左邊開始讀或從後面開始讀
            都是相同的數,我現有一個迴文數,用95除這6位數的迴文數,
            除出來的答案也是迴文數,請求出這個數。







【第二題】如下圖所示共有7張卡片,其中包含沒有寫出整數部分的3張卡
            片。「?」中的3張卡片都是3的倍數,這3張卡片的和為180。
            有三個學生各自抽出這些卡片中的兩張(不放回去)結果每位學生
            的和都相等。請問,剩下那一張沒抽到的卡片是?
            卡片圖如右「34」「46」「61」「79」「?」「?」「?」




  【第三題】如右圖為用27塊相同的小立方體拼成的大立方體,現拿一根細長
            鐵絲穿過這大立方體,最多可穿過幾個小立方體,並寫出原因



左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖



【第四題】用1998乘以某個正整數,其積的任何位數不得出現9。則應該乘
            上什麼樣的整數才好呢?請求出最小的正整數。






【第五題】如右圖請在框框內填入正整數,使得每一行和每一列的乘積都相
            等(不用管對角線),請把每一種的答案寫出來。




左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖
流星~~流星~~雖然倏的而逝,但是他發出的光芒可是閃閃耀人、令人驚嘆!

IChO要再2005年時在台灣舉行喔

我們台灣奧運加油!

Herbie

 
文章: 841
註冊時間: 2003-01-16
來自: 港都-打狗

---- 於 星期六 五月 24, 2003 5:45 pm


1. 此六位迴文數能被95整除,即能被5和19整除。
設此數為abccba,則因其被5整除a=5(不是0因為0不可以在數的首位)
此數的值
=500005+10010b+1100c
=1+16b+17c(mod 19)
=0(mod 19)
16b+17c=-1(mod 19)
16b-2c=18(mod 19)
8b-c=9(mod 19)
c=8b-9(mod 19)
b=1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,8b-9的值分別是:
-1, 7, 15, 23, 31, 39, 47, 55, 63, -9
當b=1時無解,b=2時(b,c)=(2,7), b=3 時無解,b=4時(b,c)=(4,4)
b=5時無解,b=6時(b,c)=(6,1),b=7無解,b=8無解,b=9時(b,c)=(9,6), b=0時無解
當(b,c)=(2,7)時,527725/95=5555,是迴文數,故是一解。
當(b,c)=(4,4)時,544445/95=5731,不是迴文數,不是解。
當(b,c)=(6,1)時,561165/95=5907,不是迴文數,不是解。
當(b,c)=(9,6)時,596695/95=6287,不是迴文數,不是解。
故所求數為527725。

2. 「34」「46」「61」「79」「?」「?」「?」
卡片數字總和=400=1(mod 3)
又由於抽出的六張卡數字和皆相等,即排除沒有被抽掉的卡後,總和是3的倍數
34=1(mod 3)
46=1(mod 3)
61=1(mod 3)
79=1(mod 3)
3個?=0(mod 3)
即34,46,61,79此四個也有可能。
若34沒被抽掉
卡片數字總和=400-34=366
每組和為366/3=122=2(mod 3)
因為剩下的六張卡3張=1(mod 3),三張=0(mod 3)
故怎樣組合總有一組不是2(mod 3),故無解。
若46沒被抽掉
卡片數字總和=400-46=354
每組和為354/3=118=1(mod 3)
因為剩下的六張卡3張=1(mod 3),三張=0(mod 3)
故只要抽到=1(mod 3)和=0(mod 3)在一起的就可以了。故46是答案。
若61沒被抽掉
卡片數字總和=400-61=339
每組和為339/3=113=2(mod 3)
因為剩下的六張卡3張=1(mod 3),三張=0(mod 3)
故怎樣組合總有一組不是2(mod 3),故無解。
若79沒被抽掉
卡片數字總和=400-79=321
每組和為321/3=107=2(mod 3)
因為剩下的六張卡3張=1(mod 3),三張=0(mod 3)
故怎樣組合總有一組不是2(mod 3),故無解。

4.
設該數為1998a=2000a-2a
當a<50時,最後三位必有一位為9,故
a>=51,還有使十位退位小於9,2a的十位不可為0,故
a>=55,當a=55時,個位為0,十位不需要因為個位會退位而再減1,故得數十位會出現1。
a=56時1998x56=111888,則所求數為56。

5.
設這些數為
3 4 e
8 6 d
a b c
3*8*a=4*6*b
b=a
3*8*a=3*4*e
e=2a
8*6*d=3*8*a
2d=a
d=(a/2)
a*b*c=3*8*a
a^2*c=24a
ac=24
c=24/a
因d=(a/2),d是整數,故a是偶數,又因
c=24/a,c是整數,故a是24的因子。
24的偶數因子有:2,4,6,8,12,24
當a=2時答案為
代碼:
3 4 4
8 6 1
2 2 12
當a=4時答案為
代碼:
3 4 8
8 6 2
4 4 6
當a=6時答案為
代碼:
3 4 12
8 6 3
6 6 4
當a=8時答案為
代碼:
3 4 16
8 6 4
8 8 3
當a=12時答案為
代碼:
3 4 24
8 6 6
12 12 2
當a=24時答案為
代碼:
3 4 48
8 6 12
24 24 1


3. 6個。
在平面上加入最多可穿過4個(比對角線偏移一些),加入空間因素,得6個

----
訪客
 

ming 於 星期六 五月 24, 2003 9:38 pm


一、計算題,一題24分,共120分(請把你的想法跟算式寫出來,至少能有部
分分數)

【第一題】去年2002年是個「迴文數」,因它從左邊開始讀或從後面開始讀
都是相同的數,我現有一個迴文數,用95除這6位數的迴文數,
除出來的答案也是迴文數,請求出這個數。
除出來的數只能是5字頭尾,且是4位數,(因頭尾是單數,而5005*95=475475,5995*95569523,7007*95=665665)
by trial,5555*95=527725是答案







【第二題】如下圖所示共有7張卡片,其中包含沒有寫出整數部分的3張卡
片。「?」中的3張卡片都是3的倍數,這3張卡片的和為180。
有三個學生各自抽出這些卡片中的兩張(不放回去)結果每位學生
的和都相等。請問,剩下那一張沒抽到的卡片是?
卡片圖如右「34」「46」「61」「79」「?」「?」「?」
卡片和=34+46+61+79+180=400=1(mod3)
設取a
因(400-a)/3=1(mod3)
a=1(mod9)
因只有46=1(mod9)
所以答案是46



【第三題】如右圖為用27塊相同的小立方體拼成的大立方體,現拿一根細長
鐵絲穿過這大立方體,最多可穿過幾個小立方體,並寫出原因
27,因可以以
...在中點一筆走到最盡,再上,可一筆連上所有方體
...
...





【第四題】用1998乘以某個正整數,其積的任何位數不得出現9。則應該乘
上什麼樣的整數才好呢?請求出最小的正整數。
1998的倍數中,尾兩數是998,996,994...902,900,898,896...所以最少可能是尾數888,即56*1998=111888.
而這數會在大於56很大機會積的任何位數不得出現9,但會有一些特例,如100






【第五題】如右圖請在框框內填入正整數,使得每一行和每一列的乘積都相
等(不用管對角線),請把每一種的答案寫出來。

因3*4=12,6*8=48,3*8=6*4=24,
34a
86b
cde

b只能是12的因數(因48*b是4b^2的倍數),
所以b=1,2,3,4,6,12,分別代入,有:
344
861
2212

348
862
446

34(4n)
86(n)
(2n)(2n)(12/n)
(n=1,2,3,4,6,12)

ming
訪客
 

Raceleader 於 星期六 五月 24, 2003 11:19 pm


【第一題】
6位數的迴文數形式為:abccba

因為95能整除這6位數的迴文數,而且95=19*5
所以6位數的迴文數必為5的倍數,即是5或0,即是頭位和尾位數是5或0
但0不可以成為6位數的最頭位,所以頭位和尾位數只能是5

設6位數的迴文數=5bccb5

最大可能值=599995=6315*95+70
最小可能值=500005=5263*95+20

因此,5263≦除出來的答案≦6315
除出來的答案的範圍中:
千位數為5的迴文數有5335,5445,5555,5665,5775,5885,5995
千位數為6的迴文數有6006,6116,6226
但千位數為6時,個位數都為6,乘以95後的積的尾位數必為0,因此不符
故迴文數的千位數只能為5

5335*95=506825
5445*95=517275
5555*95=527725 (符合)
5665*95=538175
5775*95=548625
5885*95=559075
5995*95=569525

故6位數的迴文數=527725=5555*95


【第二題】
因為最後3張卡片都是3的倍數
設該7張卡片為「34」「46」「61」「79」「3a」「3b」「3c」
a≦b≦c
而且3a+3b+3c=180 → a+b+c=60

7張卡片總和=34+46+61+79+180=400
設每人得到的卡片和為k,剩下的為d

k+k+k+d=400
3k+d=400=3*133+1
因此d≡1(mod3)

如果剩下的是34
每人得到的卡片和=(400-34)/3=122
3a=122-79=43
3b=122-61=61
3c=122-46=76
43+61+76=180

如果剩下的是46
每人得到的卡片和=(400-46)/3=118
3a=118-79=39
3b=118-61=57
3c=118-46=72
39+57+72=168

如果剩下的是61
每人得到的卡片和=(400-61)/3=113
3a=113-79=34
3b=113-61=52
3c=113-46=67
34+52+67=153

如果剩下的是79
每人得到的卡片和=(400-79)/3=107
3a=107-79=28
3b=107-61=46
3c=107-46=61
28+46+61=135

因為沒有規定卡片數字不能重複,故剩下的是34符合題要
所以剩下的是34

【第三題】
鐵絲穿透1個小立方體有三種不同情況。其中A、B兩種是穿過相對兩面,A種平行於棱的方向穿過,B種斜

著穿過;C種則是穿過相鄰兩面。若增加7個小立方體,做成較大立方體時,這個小立方體相對兩面中只能

有一個面與其他小立方體相鄰,也就是說只能考慮鐵絲在一個方向上繼續穿透其他小立方體。而這個小立

方體相鄰的兩面可以分別與其他小立方體相鄰,鐵絲可以沿兩個方向繼續穿透其他小立方體。因此,C種

情況是需要深入考慮的。(為了方便分析,將這個小立方體編為I號。)

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


考慮鐵絲紮進較大立方體時最多可以穿透幾個小立方體。如圖2所示,鐵絲沿斜上方向可繼續穿透II號小

立方體,沿斜下方向可繼續穿透III號、IV號小立方體。因此,共可穿透4個小立方體。

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖


考慮鐵絲紮進27個小立方體搭成的大立方體時,如圖3所示,鐵絲沿斜上方向可繼續穿透V號立方體,沿斜

下方向可以繼續穿透VI號、VII號小立方體。因此,最多可以穿透7個小立方體。

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

其實,我們可以得出一道公式
n*n*n大立方體
最多穿過小立方體的個數=1+3(n-1)


【第四題】
如果1998*n的積是一個五位數
那麼積的百位數必為9,而最兩位數及尾兩位數數字和=99

例如73926=1998*37
73+26=99,百位數是9

利用一般表示方式:
(99-n)*1000+900+n,n是一兩位數
(99-n)*1000+900+n
=99000-1000n+900+n
=99900-999n
=999(100-n)

而且1998=999*2
因此所有1998的五位數倍數的百位數必為9

1998的1-5倍:
1998,3996,5994,7992,9990,都有9
最大的五位倍數=99900=1998*50
因此1998的1-50倍的數字必有9

1998*51=101898
1998*52=103896
1998*53=105894
1998*54=107892
1998*55=109890
1998*56=111888,終於沒有9字

所以最小的正整數=56,1998*56=111888


【第五題】
設右中為a,右下為b
8*6*a=3*4*右上 → 右上=4a
8*6*a=3*8*左下 → 左下=2a
8*6*a=4*6*正下 → 正下=2a

左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

左下*正下*右下=右上*右中*右下=4a2b
所以8*6*a=4a2b
ab=12 → b=12/a
因為b是正整數,所以12/a是正整數,即是a是12的因數
a=1,2,3,4,6或12

a=1:
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

a=2:
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

a=3:
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

a=4:
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

a=6:
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

a=12:
左鍵: 點擊縮放; 右鍵: 觀看原圖

Raceleader
訪客
 






各種重要數學考題討論