這個問題可以用類似巴斯卡三角形的原理去想
但這邊用矩陣做圖會更直觀
先說原理:
首先各項次的係數組成跟其項次有直接關係
例如:
x
16勢必只能由x
8*x
8達到,因此其係數組成為1*1 (因多項式T首項係數為1。當然,若首項不為1,用b8帶入亦可,則為b8*b8)
x
15則可由x
8*x
7與x
7*x
8達到,所以其係數則為(1*b7)+(b7*1)
x
14可由x
8*x
6、x
7*x
7、x
6*x
8,則其係數組成為(1*b6)+(b7*b7)+(b6*1)
以此即可類推各項
但這樣子土法煉鋼雖然可求得,但式子可是又臭又長,不說花的時間多,還有算錯的風險
所以以下推薦矩陣做圖 PS.以下多項式T使用b8做首項係數,即意首項不為1亦可用此法做
T=b8*x
8+b7*x
7+b6*x
6+b5*x
5+b4*x
4+b3*x
3+b2*x
2+b1*x
畫一個9*9的矩陣,最上與最左列依序填入各項次的係數
在依序計算各格的數值,各格數值由該格的最上與最左係數相乘得出
如圖示,一種顏色代表一個項次的係數
同顏色數值加總後,由左上至右下顏色依序為x
16、x
15、x
14、......、x
2、x的係數值
如此,設A=a16*x
16+a15*x
15+a14*x
14+......+a
2*x2+a1*x
若a16=b8*b8
a15=b8*b7+b7*b8
a14=b8*b6+b7*b7+b6*b8
......
a2=b2*b1+b1*b2
a1=b1*b1
則A=T*T
小技巧:
左上自右下的對角線為平方項,而兩邊數值為對稱,即算出一邊的值,另一邊即一模一樣
因此式子可簡化為:
a16=b8
2
a15=2(b8*b7)
a14=b7
2+2(b8*b6)
a13=2(b8*b5+b7*b6)
a12=b6
2+2(b8*b4+b7*b5)
......
a2=2(b2*b1)
a1=b1
2