[高中]等差數列

[高中]等差數列

訪客 於 星期五 十二月 21, 2018 8:54 pm


一個等差數列的前n項和為m,前m項和為n,若m不等於n,則前m+n項和為?

訪客

 

benice 於 星期日 十二月 23, 2018 11:49 am


解:

設此等差數列之首項為 a,公差為 d,則
由等差級數的公式得:

  n[2a + (n-1)d]/2 = m ...... (1)
  m[2a + (m-1)d]/2 = n ...... (2)

因為
(1) ==> 2a = 2m/n - (n-1)d ...... (*)
(2) ==> 2a = 2n/m - (m-1)d

所以
2m/n - (n-1)d = 2n/m - (m-1)d
(m-1)d - (n-1)d = 2n/m - 2m/n
(m-n)d = 2(n² - m²)/(mn)
(m-n)d = 2(n-m)(n+m)/(mn) ...... ∵ m≠n,∴ 此式可同除 m-n
d = -2(n+m)/(mn) ...... (3)

前 m+n 項和
= (m+n)[2a + (m+n-1)d]/2
= m[2a + (m+n-1)d]/2 + n[2a + (m+n-1)d]/2
= m[2a + (m-1)d]/2 + m[nd]/2 + n[2a + (n-1)d]/2 + n[md]/2
= n + mnd/2 + m + mnd/2 ...... By (1) & (2)
= m + n + mnd
= m + n + mn[-2(n+m)/(mn)] ...... By (3)
= m + n - 2(n+m)
= -(m+n) ■


註:

將 (3) 代入 (*),得
2a = 2m/n - (n-1)[-2(n+m)/(mn)]
a = m/n + (n-1)(n+m)/(mn) ...... (4)

由 (3), (4) 知首項 a 與公差 d 皆可用 m, n 表示。
給定相異的正整數 m, n 值,即可得到相應的等差數列,
所以滿足題意的 m, n 值與數列確實存在。 ■

benice
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註冊時間: 2010-02-08

lskuo 於 星期一 十二月 24, 2018 9:26 am


benice 寫到:解:

設此等差數列之首項為 a,公差為 d,則
由等差級數的公式得:

  n[2a + (n-1)d]/2 = m ...... (1)
  m[2a + (m-1)d]/2 = n ...... (2)

因為
(1) ==> 2a = 2m/n - (n-1)d ...... (*)
(2) ==> 2a = 2n/m - (m-1)d

所以
2m/n - (n-1)d = 2n/m - (m-1)d
(m-1)d - (n-1)d = 2n/m - 2m/n
(m-n)d = 2(n² - m²)/(mn)
(m-n)d = 2(n-m)(n+m)/(mn) ...... ∵ m≠n,∴ 此式可同除 m-n
d = -2(n+m)/(mn) ...... (3)

前 m+n 項和
= (m+n)[2a + (m+n-1)d]/2
= m[2a + (m+n-1)d]/2 + n[2a + (m+n-1)d]/2
= m[2a + (m-1)d]/2 + m[nd]/2 + n[2a + (n-1)d]/2 + n[md]/2
= n + mnd/2 + m + mnd/2 ...... By (1) & (2)
= m + n + mnd
= m + n + mn[-2(n+m)/(mn)] ...... By (3)
= m + n - 2(n+m)
= -(m+n) ■


驗證:

由於 (1), (2) 同時成立時並無法保證 m, n 皆為正整數,
所以我們需要驗證滿足題意的 m, n 值與數列確實存在

將 (3) 代入 (*),得
2a = 2m/n - (n-1)[-2(n+m)/(mn)]
a = m/n + (n-1)(n+m)/(mn) ...... (4)

將 n=1, m=2 代入 (4) 與 (3),得 a = 2,d = -3,
所以數列為 2, -1, -4, -7, -10, .....。
此數列的前 1 項和為 2,前 2 項和為 2 + (-1) = 1,

故滿足題意的 m, n 值與數列確實存在。 ■


不是都已經算出 a 與 d 了嗎? 為什麽還擔心數列不存在?指定任意一組(m,n), 就會有對應的a與d了啊!

其實這題還有捷徑:
n = m[2a+(m-1)d]/2 = ma + m(m-1)d/2
m = n[2a +(n-1)d]/2 = na + m(n-1)d/2
所以  n-m = (m-n)a + [(m2-n2) -(m-n)]d/2
因為 n ≠ m, 所以 -1 = a +(m+n-1)d/2

而前m+n項的和 = (m+n)a + (m+n) (m+n-1)d/2 = (m+n)(-1) = -(m+n)

lskuo
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benice 於 星期一 十二月 24, 2018 12:59 pm


lskuo 寫到:
不是都已經算出 a 與 d 了嗎? 為什麽還擔心數列不存在?指定任意一組(m,n), 就會有對應的a與d了啊!

謝謝指正,已更新。

benice
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[高中]對稱點、三角函數

訪客 於 星期四 一月 17, 2019 9:23 pm


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高中數學問題